अपने विश्वास अंतराल को समझना
अंतराल की चौड़ाई अनुमान की सटीकता दर्शाती है। नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि उदाहरण (माध्य 50, sd 8, n = 100) का अंतराल विश्वास स्तर के साथ कैसे बदलता है।
| विश्वास स्तर | z मूल्य | त्रुटि सीमा | अंतराल |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.6449 | 1.316 | 48.684 - 51.316 |
| 95% | 1.96 | 1.568 | 48.432 - 51.568 |
| 99% | 2.5758 | 2.061 | 47.939 - 52.061 |
- ज़्यादा विश्वास चौड़ा अंतराल देता है: निश्चितता सटीकता की कीमत पर खरीदी जाती है।
- यह एक Z-आधारित अंतराल है। छोटे प्रतिदर्शों (लगभग n 30 से कम) के लिए, जब मानक विचलन डेटा से अनुमानित हो, Student का t-बंटन ज़्यादा सटीक, थोड़ा चौड़ा अंतराल देता है।
- अंतराल मानता है कि प्रतिदर्श एक सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श है और, छोटे n के लिए, कि अंतर्निहित डेटा लगभग सामान्य है। पक्षपाती प्रतिचयन अंतराल को उसकी चौड़ाई चाहे जो हो, अमान्य कर देता है।
- प्रतिदर्श आकार को चौगुना करने पर अंतराल की चौड़ाई आधी हो जाती है, क्योंकि मानक त्रुटि 1 / sqrt(n) के अनुपात में बदलती है।
विश्वास अंतराल क्या है?
विश्वास अंतराल प्रतिदर्श डेटा से गणना की गई एक सीमा है जो वास्तविक समष्टि प्राचल — यहां, समष्टि माध्य — को एक बताई गई दीर्घकालिक सफलता दर के साथ समेटने के लिए बनाई जाती है। 95% विश्वास स्तर का मतलब है कि अगर वही प्रतिचयन प्रक्रिया कई बार दोहराई जाए, तो इस तरह बने लगभग 95% अंतराल वास्तविक माध्य को समेटेंगे।
अंतराल प्रतिदर्श माध्य पर केंद्रित होता है और हर दिशा में एक त्रुटि सीमा तक फैलता है। त्रुटि सीमा क्रांतिक मूल्य (z) को माध्य की मानक त्रुटि से गुणा करके मिलती है, और मानक त्रुटि मानक विचलन को प्रतिदर्श आकार के वर्गमूल से भाग देने पर मिलती है। बड़े प्रतिदर्श मानक त्रुटि, और इसलिए अंतराल, को n के वर्गमूल के अनुपात में छोटा करते हैं: प्रतिदर्श आकार को चौगुना करने पर अंतराल की चौड़ाई आधी हो जाती है।
95% अंतराल की सही व्याख्या प्रक्रिया के बारे में एक कथन है, किसी एक अंतराल के बारे में नहीं: यह कहना सख्ती से सही नहीं है कि वास्तविक माध्य के इस विशेष अंतराल के भीतर होने की 95% प्रायिकता है — वास्तविक माध्य एक स्थिर मूल्य है, और हर गणना किया गया अंतराल या तो उसे समेटता है या नहीं। 95% इस बात को दर्शाता है कि दोहराए गए प्रतिदर्शों में यह विधि कितनी बार सफल होती है।
इस विश्वास अंतराल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- प्रतिदर्श माध्य दर्ज करें — आपके मापे मूल्यों का औसत।
- मानक विचलन दर्ज करें। अपने डेटा से गणना किया गया प्रतिदर्श मानक विचलन (n - 1 रूप) उपयोग करें, या अगर समष्टि मूल्य ज्ञात हो तो वह उपयोग करें।
- प्रतिदर्श आकार n (कम से कम 2) दर्ज करें और एक विश्वास स्तर चुनें: 90%, 95% या 99%।
- अंतराल, त्रुटि सीमा और मानक त्रुटि पढ़ें। छोटे प्रतिदर्शों (आमतौर पर n 30 से कम) के लिए, जब समष्टि मानक विचलन अज्ञात हो, ध्यान दें कि t-आधारित अंतराल थोड़ा चौड़ा और ज़्यादा सटीक होता है।
विश्वास अंतराल फॉर्मूला
माध्य के लिए Z-आधारित अंतराल है: प्रतिदर्श माध्य प्लस या माइनस z गुणा (मानक विचलन / sqrt(n))। z क्रांतिक मूल्य 90% के लिए 1.6449, 95% के लिए 1.96 और 99% के लिए 2.5758 हैं — ये मानक सामान्य बंटन के वे बिंदु हैं जो दोनों पूंछों में संबंधित कुल प्रायिकता छोड़ते हैं।
उदाहरण: माध्य 50, मानक विचलन 8, n = 100, 95% विश्वास। स्टेप 1 — मानक त्रुटि: 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0.8। स्टेप 2 — त्रुटि सीमा: 1.96 x 0.8 = 1.568। स्टेप 3 — अंतराल: 50 - 1.568 = 48.432 और 50 + 1.568 = 51.568, इसलिए 95% विश्वास अंतराल 48.432 से 51.568 तक है।
यह कैलकुलेटर मानक सामान्य (z) बंटन का उपयोग करता है, जो तब उपयुक्त है जब समष्टि मानक विचलन ज्ञात हो या प्रतिदर्श काफी बड़ा हो। जब प्रतिदर्श छोटा हो (आमतौर पर n 30 से कम) और समष्टि मानक विचलन प्रतिदर्श से अनुमानित हो, तो n - 1 स्वतंत्रता की कोटियों वाला Student का t-बंटन थोड़ा चौड़ा, ज़्यादा सटीक अंतराल देता है; n के बढ़ने पर यह अंतर घटता जाता है।
आम गलतियां
- 95% अंतराल की व्याख्या 'इस सीमा में 95% डेटा है' के रूप में करना — अंतराल माध्य के बारे में अनिश्चितता को दर्शाता है, अलग-अलग अवलोकनों के फैलाव को नहीं।
- यह कहना कि वास्तविक माध्य के इस विशेष अंतराल में होने की 95% प्रायिकता है; 95% दोहराए गए प्रतिदर्शों में विधि की दीर्घकालिक सफलता दर को दर्शाता है।
- अनुमानित मानक विचलन वाले छोटे प्रतिदर्श के लिए z अंतराल का उपयोग करना, जहां t-बंटन उपयुक्त विकल्प है।
- मानक विचलन के बजाय मानक त्रुटि दर्ज करना — कैलकुलेटर खुद sqrt(n) से भाग देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
95% विश्वास अंतराल कैसे निकालें?
मानक त्रुटि निकालें (मानक विचलन को प्रतिदर्श आकार के वर्गमूल से भाग देकर), त्रुटि सीमा पाने के लिए इसे 1.96 से गुणा करें, और उस सीमा को प्रतिदर्श माध्य में जोड़ें और घटाएं। उदाहरण: माध्य 50, sd 8, n = 100 से SE = 0.8, सीमा 1.568, और अंतराल 48.432 से 51.568 मिलता है।
95% विश्वास स्तर का वास्तव में क्या मतलब है?
यह विधि के दीर्घकालिक प्रदर्शन को दर्शाता है: अगर आप बार-बार समान आकार के प्रतिदर्श लेते और हर एक से अंतराल बनाते, तो उनमें से लगभग 95% अंतराल वास्तविक समष्टि माध्य को समेटते। कोई भी एक अंतराल या तो वास्तविक माध्य को समेटता है या नहीं — 95% प्रक्रिया का गुण है, किसी एक अंतराल का नहीं।
मुझे z के बजाय t-बंटन कब उपयोग करना चाहिए?
Student के t-बंटन का उपयोग तब करें जब प्रतिदर्श छोटा हो (आम अंगूठे का नियम n 30 से कम है) और समष्टि मानक विचलन अज्ञात हो और प्रतिदर्श से अनुमानित हो। t-बंटन की पूंछें भारी होती हैं, जिससे थोड़ा चौड़ा अंतराल मिलता है जो अतिरिक्त अनिश्चितता को सही ढंग से ध्यान में रखता है; बड़े प्रतिदर्शों के साथ t और z अंतराल व्यावहारिक रूप से एक जैसे हो जाते हैं।
मैं अपने विश्वास अंतराल को कैसे संकरा कर सकता हूं?
तीन तरीके: प्रतिदर्श आकार बढ़ाएं (चौड़ाई 1 / sqrt(n) के अनुपात में घटती है, इसलिए n को चौगुना करने पर चौड़ाई आधी हो जाती है), कम विश्वास स्तर स्वीकार करें (90% अंतराल 99% अंतराल से संकरा होता है), या माप की परिवर्तनशीलता घटाएं ताकि मानक विचलन खुद छोटा हो।
मानक त्रुटि और मानक विचलन में क्या फर्क है?
मानक विचलन माध्य के आसपास अलग-अलग अवलोकनों का फैलाव मापता है। मानक त्रुटि खुद प्रतिदर्श माध्य की अनिश्चितता मापती है, और मानक विचलन को sqrt(n) से भाग देने पर मिलती है। जैसे-जैसे प्रतिदर्श बढ़ता है, मानक विचलन अपने समष्टि मूल्य के पास स्थिर हो जाता है जबकि मानक त्रुटि शून्य की ओर घटती रहती है।
संदर्भ
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).