अपने Z-स्कोर को समझना
नीचे दी गई तालिका चुनिंदा Z-स्कोर और उनके मानक सामान्य पर्सेंटाइल दिखाती है।
| Z-स्कोर | पर्सेंटाइल (नीचे का हिस्सा) | व्याख्या |
|---|---|---|
| -2 | 2.28% | माध्य से दो मानक विचलन नीचे; असामान्य रूप से कम |
| -1 | 15.87% | माध्य से एक मानक विचलन नीचे |
| 0 | 50% | ठीक माध्य पर (और सामान्य बंटन के लिए, माध्यिका पर भी) |
| +1 | 84.13% | माध्य से एक मानक विचलन ऊपर |
| +2 | 97.72% | माध्य से दो मानक विचलन ऊपर; असामान्य रूप से ज़्यादा |
| +3 | 99.87% | माध्य से तीन मानक विचलन ऊपर; सामान्यता में दुर्लभ |
- पर्सेंटाइल मानते हैं कि अंतर्निहित बंटन लगभग सामान्य है। तिरछे या भारी-पूंछ वाले डेटा के लिए, Z-से-पर्सेंटाइल रूपांतरण भरोसेमंद नहीं है, भले ही Z-स्कोर खुद अच्छी तरह परिभाषित हो।
- अनुभवजन्य नियम के अनुसार, सामान्य बंटन का लगभग 68% z = -1 से +1 के भीतर होता है, लगभग 95% -2 से +2 के भीतर, और लगभग 99.7% -3 से +3 के भीतर।
- Z-स्कोर यह नहीं बताता कि कोई मूल्य अच्छा है या बुरा — केवल यह बताता है कि यह अपने बंटन के माध्य से कितनी दूर है।
Z-स्कोर क्या है?
Z-स्कोर किसी मूल्य को मानकीकृत करता है, उसकी माध्य से दूरी को मानक विचलन की इकाइयों में व्यक्त करके। 0 का Z-स्कोर बताता है कि मूल्य माध्य के बराबर है; +1 माध्य से एक मानक विचलन ऊपर बताता है; -2 दो मानक विचलन नीचे बताता है। मानकीकरण अलग-अलग स्केल के मापों को एक समान आधार पर लाता है, इसीलिए Z-स्कोर का उपयोग अलग-अलग बंटनों में टेस्ट नतीजों, वृद्धि मापों और प्रयोगशाला मूल्यों की तुलना करने के लिए किया जाता है।
जब अंतर्निहित बंटन सामान्य (घंटी-आकार) हो, तो Z-स्कोर मानक सामान्य संचयी बंटन फलन (CDF) के ज़रिए सीधे पर्सेंटाइल से जुड़ता है। CDF बताता है कि बंटन का कितना हिस्सा दिए गए z से नीचे है — उदाहरण के लिए, सामान्य बंटन का लगभग 84.13% z = 1 से नीचे है, और लगभग 97.72% z = 2 से नीचे है। यह कैलकुलेटर मानक सामान्य CDF की गणना Abramowitz और Stegun के सन्निकटन (फॉर्मूला 7.1.26) से करता है, जो लगभग 7.5 x 10^-8 तक सटीक है।
पर्सेंटाइल की व्याख्या सामान्यता पर निर्भर करती है। Z-स्कोर किसी भी डेटा के लिए निकाला जा सकता है, लेकिन उन्हें सामान्य CDF से पर्सेंटाइल में बदलना केवल तभी सटीक है जब बंटन लगभग सामान्य हो; तिरछे या भारी-पूंछ वाले डेटा के लिए बताए गए पर्सेंटाइल भ्रामक हो सकते हैं।
इस Z-स्कोर कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- वह मूल्य (x) दर्ज करें जिसे आप मानकीकृत करना चाहते हैं — उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति का टेस्ट स्कोर।
- उस बंटन का माध्य दर्ज करें जिससे मूल्य आया है।
- बंटन का मानक विचलन दर्ज करें, जो शून्य से बड़ा होना चाहिए।
- Z-स्कोर, पर्सेंटाइल (सामान्यता मानते हुए, मूल्य से नीचे बंटन का हिस्सा), और ऊपर का हिस्सा पढ़ें।
Z-स्कोर फॉर्मूला
Z-स्कोर मूल्य घटा माध्य को मानक विचलन से भाग देने पर मिलता है: z = (x - माध्य) / sd। धनात्मक z बताता है कि मूल्य माध्य से ऊपर है, ऋणात्मक z नीचे बताता है।
उदाहरण: x = 130, माध्य = 100, मानक विचलन = 15 (क्लासिक IQ स्केल)। z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2। मूल्य ठीक माध्य से दो मानक विचलन ऊपर बैठता है। मानक सामान्य CDF से, z = 2 से नीचे का अनुपात 0.9772 है, इसलिए मूल्य 97.72वें पर्सेंटाइल पर है और बंटन का लगभग 2.28% इसके ऊपर है।
पर्सेंटाइल मानक सामान्य संचयी बंटन फलन से आते हैं: percentile = CDF(z) x 100, और share above = (1 - CDF(z)) x 100। CDF की कोई बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं है; यह कैलकुलेटर Abramowitz और Stegun (1964) के सन्निकटन 7.1.26 का उपयोग करता है।
आम गलतियां
- स्पष्ट रूप से गैर-सामान्य डेटा के लिए Z-स्कोर को पर्सेंटाइल में बदलना — सामान्य CDF मैपिंग घंटी-आकार बंटन मानती है।
- दिशा को गड्ड-मड्ड करना: ऋणात्मक Z-स्कोर का मतलब है कि मूल्य माध्य से नीचे है, यह कोई त्रुटि या असंभव नतीजा नहीं है।
- मानक विचलन के बजाय प्रसरण से भाग देना — Z फॉर्मूले का भाजक मानक विचलन है।
- किसी दूसरे समूह के मूल्य को मानकीकृत करने के लिए एक समूह के समष्टि माध्य और मानक विचलन का उपयोग करना, जो एक अर्थहीन तुलना पैदा करता है।
- पर्सेंटाइल को प्रतिशत स्कोर के साथ गड्ड-मड्ड करना: 97.7वें पर्सेंटाइल पर होने का मतलब बंटन के लगभग 97.7% से ऊपर स्कोर करना है, टेस्ट में 97.7% अंक पाना नहीं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
Z-स्कोर कैसे निकालें?
मूल्य में से माध्य घटाएं, फिर मानक विचलन से भाग दें: z = (x - माध्य) / sd। उदाहरण के लिए, माध्य 100 और मानक विचलन 15 वाले स्केल पर 130 का स्कोर z = (130 - 100) / 15 = 2 देता है, यानी स्कोर माध्य से दो मानक विचलन ऊपर है।
Z-स्कोर 2 किस पर्सेंटाइल पर है?
लगभग 97.72वें पर्सेंटाइल पर। z = 2 पर मूल्यांकित मानक सामान्य संचयी बंटन फलन 0.9772 है, यानी सामान्य बंटन का 97.72% उस मूल्य से नीचे है और 2.28% उसके ऊपर है।
अच्छा Z-स्कोर क्या है?
Z-स्कोर तटस्थ माप हैं, अंक नहीं — कोई दिया गया z वांछनीय है या नहीं यह पूरी तरह संदर्भ पर निर्भर करता है। +2 का z टेस्ट स्कोर के लिए बेहतरीन है लेकिन रक्तचाप के लिए चिंताजनक। लगभग -2 या +2 से परे के मूल्यों को परंपरागत रूप से असामान्य माना जाता है, क्योंकि सामान्य बंटन का 5% से कम हिस्सा उस सीमा से बाहर होता है।
क्या Z-स्कोर ऋणात्मक हो सकता है?
हां। ऋणात्मक Z-स्कोर का सीधा मतलब है कि मूल्य माध्य से नीचे है। उदाहरण के लिए, z = -1.5 दर्शाता है कि मूल्य माध्य से डेढ़ मानक विचलन नीचे है, जो सामान्य बंटन के लगभग 6.68वें पर्सेंटाइल पर है।
क्या Z-स्कोर के लिए सामान्य बंटन ज़रूरी है?
Z-स्कोर खुद — मानक विचलन इकाइयों में माध्य से दूरी — किसी भी बंटन के लिए परिभाषित है। हालांकि, मानक सामान्य CDF का उपयोग करके Z-स्कोर को पर्सेंटाइल में बदलना, जैसा यह कैलकुलेटर करता है, केवल तभी सटीक है जब बंटन लगभग सामान्य हो। तिरछे डेटा के लिए, पर्सेंटाइल सीधे डेटा से निकाले जाने चाहिए।
दिखाया गया पर्सेंटाइल कितना सटीक है?
मानक सामान्य CDF की कोई सटीक बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं है, इसलिए यह कैलकुलेटर Abramowitz और Stegun (1964) के परिमेय सन्निकटन 7.1.26 का उपयोग करता है, जिसकी निरपेक्ष त्रुटि 7.5 x 10^-8 से कम है — दिखाए गए दो दशमलव स्थानों से कहीं ज़्यादा सटीक।
संदर्भ
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).