चारों नतीजों को समझना
नीचे दी गई तालिका उदाहरण P(A) = 50%, P(B) = 30% के लिए, स्वतंत्रता मानते हुए, हर आउटपुट दिखाती है।
| नतीजा | फॉर्मूला | उदाहरण मूल्य |
|---|---|---|
| A और B दोनों | P(A) x P(B) | 0.5 x 0.3 = 15% |
| कम से कम एक (A या B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0.5 + 0.3 - 0.15 = 65% |
| A घटित नहीं होता | 1 - P(A) | 1 - 0.5 = 50% |
| कोई भी घटित नहीं होता | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0.5 x 0.7 = 35% |
- सभी नतीजे मानते हैं कि A और B स्वतंत्र हैं। अगर घटनाएं एक-दूसरे को प्रभावित करती हैं (आश्रित घटनाएं), तो ये फॉर्मूले लागू नहीं होते और सशर्त प्रायिकताएं चाहिए।
- 'कम से कम एक घटित होता है' और 'कोई भी घटित नहीं होता' पूरक हैं: उनकी प्रायिकताएं हमेशा 100% तक जुड़ती हैं।
- प्रायिकताएं कई दोहराव पर दीर्घकालिक आवृत्तियां बताती हैं; 15% संभावना का मतलब यह नहीं कि घटना अगले 100 प्रयासों में ठीक 15 बार होगी।
संयुक्त घटनाओं की प्रायिकता क्या है?
प्रायिकता 0 और 1 (या 0% और 100%) के बीच की एक संख्या है जो बताती है कि कोई घटना कितनी संभावित है: 0 का मतलब असंभव, 1 का मतलब निश्चित। जब दो घटनाओं पर एक साथ विचार किया जाता है, तो प्रायिकता के मानक नियम तय करते हैं कि उनकी अलग-अलग प्रायिकताएं 'दोनों घटित होना' या 'कम से कम एक घटित होना' जैसी संयुक्त घटनाओं की प्रायिकता में कैसे मिलती हैं।
यह कैलकुलेटर मानता है कि दोनों घटनाएं स्वतंत्र हैं: एक के घटित होने की जानकारी दूसरे के घटित होने के बारे में कुछ नहीं बताती। सिक्का उछालना, अलग-अलग पासे फेंकना, और असंबद्ध यादृच्छिक चयन स्वतंत्रता के क्लासिक उदाहरण हैं। स्वतंत्रता के तहत, दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता बस उनकी अलग-अलग प्रायिकताओं का गुणनफल है: P(A और B) = P(A) x P(B)।
स्वतंत्रता की मान्यता ज़रूरी है और इसे वास्तविक स्थिति के आधार पर जांचना चाहिए, अपने आप मान नहीं लेना चाहिए। एक ही डेक से बिना वापस रखे दो पत्ते निकालना, या एक ही दिन दो मौसम घटनाएं, आश्रित होती हैं — पहला नतीजा दूसरे की प्रायिकताओं को बदल देता है — और तब गुणन नियम वास्तविक संयुक्त प्रायिकता को कम या ज़्यादा बताता है। आश्रित घटनाओं के लिए, सशर्त प्रायिकताएं चाहिए: P(A और B) = P(A) x P(B, A दिए जाने पर)।
इस प्रायिकता कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- घटना A की प्रायिकता को 0 और 100 के बीच प्रतिशत के रूप में दर्ज करें, उदाहरण के लिए किसी निष्पक्ष सिक्के के हेड आने के लिए 50।
- घटना B की प्रायिकता को प्रतिशत के रूप में दर्ज करें, उदाहरण के लिए 30।
- पुष्टि करें कि दोनों घटनाएं वास्तव में स्वतंत्र हैं — एक का घटित होना दूसरे की संभावना को नहीं बदलना चाहिए। यहां उपयोग किए गए फॉर्मूले केवल इस मान्यता के तहत सही हैं।
- चारों संयुक्त प्रायिकताएं पढ़ें: दोनों घटित होना, कम से कम एक घटित होना, A न घटित होना, और कोई भी न घटित होना।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता नियम
गुणन नियम (दोनों घटित हों): स्वतंत्र घटनाओं के लिए, P(A और B) = P(A) x P(B)। पूरक नियम: P(A नहीं) = 1 - P(A)। कोई भी न घटित हो: P(कोई नहीं) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), जो दोनों पूरकों पर गुणन नियम लागू करता है। कम से कम एक घटित हो (समावेशन-अपवर्जन): P(A या B) = P(A) + P(B) - P(A और B)।
P(A) = 50% और P(B) = 30% के साथ उदाहरण, जिन्हें 0.5 और 0.3 लिखा गया। दोनों: 0.5 x 0.3 = 0.15 = 15%। कम से कम एक: 0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65 = 65%। A नहीं: 1 - 0.5 = 0.5 = 50%। कोई नहीं: 0.5 x 0.7 = 0.35 = 35%। संगति जांच के रूप में, 'कम से कम एक' और 'कोई नहीं' पूरक हैं: 65% + 35% = 100%।
'कम से कम एक' फॉर्मूले में P(A और B) घटाना दोहरी गिनती से बचाता है: वरना जिन नतीजों में दोनों घटनाएं घटित होती हैं उन्हें एक बार P(A) में और फिर से P(B) में गिना जाता।
आम गलतियां
- 'A या B' के लिए ओवरलैप घटाए बिना प्रायिकताएं जोड़ना: सिर्फ P(A) + P(B), उन नतीजों को दो बार गिनता है जहां दोनों घटित होती हैं, और यह 100% से भी ऊपर जा सकता है।
- आश्रित घटनाओं की प्रायिकताओं को ऐसे गुणा करना जैसे वे स्वतंत्र हों — बिना वापस रखे पत्ते निकालना इसका क्लासिक प्रति-उदाहरण है।
- जुआरी की भ्रांति: स्वतंत्र प्रयासों को ऐसे मानना जैसे पिछले नतीजे भविष्य की प्रायिकताओं को बदल दें; एक निष्पक्ष सिक्का जो पांच बार हेड आया हो, उसके अगले उछाल में हेड आने की संभावना अब भी 50% ही है।
- 'दोनों घटित होना' को 'कम से कम एक घटित होना' के साथ गड्ड-मड्ड करना — P(A) = 50% और P(B) = 30% के लिए ये क्रमशः 15% और 65% हैं, जो बहुत अलग मात्राएं हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
दो घटनाओं के स्वतंत्र होने का क्या मतलब है?
दो घटनाएं तब स्वतंत्र होती हैं जब एक का घटित होना दूसरे की प्रायिकता को नहीं बदलता — औपचारिक रूप से, P(A और B) = P(A) x P(B)। अलग-अलग सिक्का उछाल और असंबद्ध पासे फेंकना स्वतंत्र हैं; एक ही डेक से बिना वापस रखे दो पत्ते निकालना स्वतंत्र नहीं है, क्योंकि पहला निकाला गया पत्ता डेक की बनावट बदल देता है।
दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता कैसे निकालें?
स्वतंत्र घटनाओं के लिए, अलग-अलग प्रायिकताओं को गुणा करें: P(A और B) = P(A) x P(B)। उदाहरण के लिए, P(A) = 50% और P(B) = 30% के साथ, दोनों के घटित होने की प्रायिकता 0.5 x 0.3 = 0.15, यानी 15% है। यह गुणन नियम केवल तभी सही है जब घटनाएं स्वतंत्र हों।
कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता कैसे निकालें?
समावेशन-अपवर्जन नियम का उपयोग करें: P(A या B) = P(A) + P(B) - P(A और B)। 50% और 30% की स्वतंत्र घटनाओं के साथ, यह 0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65, यानी 65% है। इसके समतुल्य, 1 में से कोई भी न घटित होने की प्रायिकता घटाएं: 1 - (0.5 x 0.7) = 0.65।
मैं 'A या B' के लिए दोनों प्रायिकताएं सीधे क्यों नहीं जोड़ सकता?
क्योंकि जिन नतीजों में दोनों घटनाएं घटित होती हैं उन्हें दो बार गिना जाएगा — एक बार P(A) में और एक बार P(B) में। 50% और 30% जोड़ने पर 80% मिलता है, लेकिन स्वतंत्र घटनाओं के लिए सही उत्तर 65% है, जब 15% का ओवरलैप घटा दिया जाए। सीधा जोड़ केवल परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए सही है, जो परिभाषा के अनुसार दोनों एक साथ घटित नहीं हो सकतीं।
अगर मेरी घटनाएं स्वतंत्र न हों तो क्या होगा?
तब ये फॉर्मूले लागू नहीं होते। आश्रित घटनाओं के लिए, संयुक्त प्रायिकता एक सशर्त प्रायिकता का उपयोग करती है: P(A और B) = P(A) x P(B, A दिए जाने पर), जहां P(B, A दिए जाने पर) A के घटित होने के ज्ञात होने पर B की प्रायिकता है। उदाहरण के लिए, एक मानक डेक से बिना वापस रखे दो इक्के निकालने की संभावना (4/52) x (3/51) है, (4/52) x (4/52) नहीं।
संदर्भ
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.