विश्वास अंतराल क्या है? एक सरल भाषा में व्याख्या

विश्वास अंतराल क्या है

विश्वास अंतराल किसी अज्ञात जनसंख्या पैरामीटर -- सबसे अधिक बार जनसंख्या माध्य या अनुपात -- के लिए संभावित मानों का एक दायरा है, जो डेटा के किसी नमूने से निकाला जाता है। इसे किसी बिंदु आकलन, जैसे नमूना माध्य, के इर्द-गिर्द बनाया जाता है और दोनों दिशाओं में एक त्रुटि सीमा से आगे बढ़ाया जाता है, ताकि यदि वही नमूनाकरण और गणना प्रक्रिया कई बार दोहराई जाए तो पूरा अंतराल वास्तविक, अज्ञात जनसंख्या मान को एक निर्दिष्ट प्रतिशत समय पकड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया हो।

चुना गया प्रतिशत, जिसे विश्वास स्तर कहा जाता है, सबसे सामान्यतः 90%, 95% या 99% होता है। एक व्यापक अंतराल यह अधिक विश्वास देता है कि यह वास्तविक मान को शामिल करता है, लेकिन इसकी कीमत सटीकता के रूप में चुकानी पड़ती है; एक संकरा अंतराल अधिक सटीक होता है लेकिन कम विश्वास स्तर के साथ आता है, या समान विश्वास स्तर बनाए रखने के लिए एक बड़े नमूने की आवश्यकता होती है। सटीकता और विश्वास के बीच यह ट्रेड-ऑफ अपरिहार्य है और किसी भी बताए गए अंतराल की सही व्याख्या के लिए केंद्रीय है।

'95% विश्वास' की आम गलतफहमी

95% विश्वास अंतराल को यह मानकर पढ़ना कि उस एक विशिष्ट, पहले से गणना किए गए अंतराल में वास्तविक जनसंख्या मान होने की 95% संभावना है, एक आम और अच्छी तरह प्रलेखित गलतफहमी है। यह व्याख्या तकनीकी रूप से सही नहीं है: एक बार जब किसी विशेष नमूने से एक विशेष अंतराल की गणना कर ली जाती है, तो वास्तविक जनसंख्या मान या तो उसमें होता है या नहीं होता -- उस एक अंतराल के लिए किसी संभावना को जोड़ने के लिए कोई शेष यादृच्छिकता नहीं बचती। 95%, अंतराल बनाने में उपयोग की गई विधि की, कई काल्पनिक बार-बार लिए गए नमूनों में, दीर्घकालिक सफलता दर बताता है, न कि बाद में किसी एक अंतराल के बारे में एक संभावना कथन।

होकस्ट्रा और सहकर्मियों (2014) ने, Psychonomic Bulletin and Review में प्रकाशित करते हुए, दस्तावेज़ित किया कि यह अंतर व्यापक रूप से गलत समझा जाता है, जिसमें शोधकर्ता और सांख्यिकी के छात्र भी शामिल हैं, जिनमें से कई ने 95% विश्वास अंतराल की व्याख्या सीधे उस विशिष्ट अंतराल में वास्तविक मान होने की संभावना बताने वाले रूप में की। तकनीकी रूप से सही व्याख्या बार-बार नमूनाकरण में विधि की विश्वसनीयता से संबंधित है, न कि पहले से देखे गए किसी एक परिणाम के बारे में संभावना कथन से।

त्रुटि सीमा: विश्वास अंतराल की बुनियादी इकाई

त्रुटि सीमा वह दूरी है जितनी विश्वास अंतराल बिंदु आकलन के दोनों ओर फैलता है, और इसकी गणना एक क्रांतिक मान (सामान्य-आधारित अंतराल के लिए z) को आकलन की मानक त्रुटि से गुणा करके की जाती है। किसी माध्य के लिए, मानक त्रुटि मानक विचलन को नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित करने पर मिलती है: मानक त्रुटि = मानक विचलन / sqrt(n). एक बड़ा नमूना मानक त्रुटि को छोटा करता है, और इसलिए त्रुटि सीमा तथा समग्र अंतराल की चौड़ाई को n के वर्गमूल के अनुपात में छोटा करता है।

क्रांतिक मान z चुने गए विश्वास स्तर पर निर्भर करता है: 90% विश्वास के लिए 1.6449, 95% विश्वास के लिए 1.96, और 99% विश्वास के लिए 2.5758, जिनमें से प्रत्येक मानक सामान्य वितरण पर वह बिंदु दर्शाता है जो दोनों पूंछों में संगत कुल संभावना छोड़ता है। उच्च विश्वास स्तर के लिए बड़े क्रांतिक मान की आवश्यकता होती है, जो त्रुटि सीमा और इसलिए परिणामी अंतराल को चौड़ा कर देता है, बाकी सब समान रहने पर।

वर्कड उदाहरण: किसी माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल बनाना

मान लें n = 100 अवलोकनों वाले किसी नमूने का माध्य 50 और मानक विचलन 8 है, और जनसंख्या माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल चाहिए। चरण 1: मानक त्रुटि की गणना करें, 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0.8. चरण 2: 95% क्रांतिक मान का उपयोग करके त्रुटि सीमा की गणना करें, 1.96 x 0.8 = 1.568. चरण 3: नमूना माध्य में त्रुटि सीमा जोड़ें और घटाएं: 50 - 1.568 = 48.432, और 50 + 1.568 = 51.568.

परिणामी 95% विश्वास अंतराल 48.432 से 51.568 है। सही व्याख्या यह है कि यदि यही नमूनाकरण और गणना प्रक्रिया उसी जनसंख्या से 100 के नए नमूनों पर कई बार दोहराई जाए, तो इस तरह बनाए गए लगभग 95% अंतराल वास्तविक जनसंख्या माध्य को शामिल करेंगे -- न कि यह कि इस एक मामले में वास्तविक माध्य के विशेष रूप से 48.432 और 51.568 के बीच होने की 95% संभावना है।

विश्वास स्तर और नमूना आकार अंतराल को कैसे बदलते हैं

नमूने को स्थिर रखते हुए (माध्य 50, मानक विचलन 8, n = 100), नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि केवल चुने गए विश्वास स्तर के आधार पर वही अंतर्निहित डेटा अलग-अलग अंतराल चौड़ाई कैसे देता है। उच्च विश्वास हमेशा अंतराल को चौड़ा करता है, क्योंकि एक अधिक विश्वसनीय विधि (जो बार-बार नमूनों में अधिक बार सफल होती है) को, अपनी संरचना के कारण, संभावित मानों की एक व्यापक सीमा को कवर करना पड़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

1. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
2. Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
3. Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.