अपने द्विपद-बंटन परिणाम को समझना
नीचे दी गई तालिका सारांशित करती है कि हर गणना मोड कैसे परिभाषित है और यह कब उपयुक्त विकल्प है।
| मोड | उत्तर दिया गया प्रश्न | फॉर्मूला |
|---|---|---|
| ठीक k | ठीक k सफलताओं की प्रायिकता क्या है? | P(X = k) |
| अधिकतम k | k या उससे कम सफलताओं की प्रायिकता क्या है? | P(X ≤ k) |
| न्यूनतम k | k या उससे अधिक सफलताओं की प्रायिकता क्या है? | P(X ≥ k) |
- एक सामान्यतः उद्धृत अंगूठे का नियम (मानक सांख्यिकी पाठ्यपुस्तकों में मिलता है) यह है कि द्विपद बंटन को प्रसामान्य बंटन से उचित रूप से सन्निकटित किया जा सकता है जब n × p और n × (1 − p) दोनों कम से कम 5 हों, और एक निरंतरता सुधार सन्निकटन को और बेहतर बनाता है।
- द्विपद मॉडल को स्थिर सफलता प्रायिकता वाले स्वतंत्र परीक्षणों की आवश्यकता है; किसी छोटी परिमित जनसंख्या से बिना प्रतिस्थापन के नमूनाकरण स्वतंत्रता भंग करता है और इसके बजाय हाइपरज्यामितीय बंटन की माँग करता है।
- k को 0 और n के बीच (दोनों सहित) एक पूर्णांक होना चाहिए; k के गैर-पूर्णांक या सीमा-बाहर मान मान्य द्विपद परिणाम नहीं हैं।
- “अधिकतम k” और “न्यूनतम k + 1” पूरक हैं और 100% तक जुड़ते हैं (समतुल्य रूप से, “अधिकतम k − 1” और “न्यूनतम k” 100% तक जुड़ते हैं)।
द्विपद बंटन क्या है?
द्विपद बंटन एक निश्चित संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों (n) में सफलताओं की संख्या का मॉडल बनाता है, जिनमें से हर एक की समान सफलता प्रायिकता (p) है और प्रति परीक्षण केवल दो संभावित परिणाम हैं — सफलता या विफलता। क्लासिक उदाहरणों में सिक्के के निश्चित संख्या में उछालों में हेड की संख्या, या उत्पादन लाइन से निश्चित नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या शामिल है, बशर्ते सफलता प्रायिकता सभी परीक्षणों में स्थिर रहे।
यह बंटन असतत है: सफलताओं की संख्या k केवल 0 से n तक पूर्णांक मान ले सकती है। इसका आकार n और p दोनों पर निर्भर करता है — p = 0.5 पर सममित, और p के 0 या 1 की ओर बढ़ने पर तेजी से तिरछा होता जाता है।
दो परिभाषित धारणाएँ हैं स्वतंत्रता (एक परीक्षण का परिणाम दूसरे को प्रभावित नहीं करता) और सभी परीक्षणों में स्थिर सफलता प्रायिकता। जब परीक्षण किसी छोटी, परिमित जनसंख्या से बिना प्रतिस्थापन के लिए जाते हैं, तो ये धारणाएँ भंग हो सकती हैं और संबंधित हाइपरज्यामितीय बंटन अधिक उपयुक्त होता है।
इस द्विपद बंटन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- परीक्षणों की संख्या, n, दर्ज करें।
- प्रति परीक्षण सफलता की प्रायिकता, p, प्रतिशत के रूप में दर्ज करें।
- सफलताओं की संख्या, k (0 से n तक एक पूर्णांक), दर्ज करें।
- एक मोड चुनें: ठीक k सफलताएँ, अधिकतम k सफलताएँ, या न्यूनतम k सफलताएँ, और परिणामी प्रायिकता पढ़ें, साथ ही बंटन का प्रत्याशित मान और मानक विचलन।
द्विपद प्रायिकता के पीछे का फॉर्मूला
n परीक्षणों में ठीक k सफलताओं की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन से दी जाती है: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, जहाँ C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) n परीक्षणों में k सफलताएँ चुनने के तरीकों की संख्या है।
“अधिकतम k” 0 से k तक हर परिणाम के लिए इस प्रायिकता का योग करता है; “न्यूनतम k” इसे k से n तक जोड़ता है (समतुल्य रूप से, अधिकतम k − 1 की प्रायिकता को 1 से घटाकर)।
बंटन का प्रत्याशित मान (सफलताओं की औसत संख्या) n × p है, और इसका मानक विचलन √(n × p × (1 − p)) है।
उदाहरण: n = 20 परीक्षण, p = 50%, ठीक k = 8 सफलताएँ। P(X = 8) = C(20, 8) × 0.5⁸ × 0.5¹² ≈ 12.01%। प्रत्याशित मान 20 × 0.5 = 10 है, और मानक विचलन √(20 × 0.5 × 0.5) = √5 ≈ 2.2361 है।
सामान्य गलतियाँ
- उन परीक्षणों के लिए द्विपद बंटन का उपयोग करना जो स्वतंत्र नहीं हैं या जहाँ सफलता प्रायिकता परीक्षणों के बीच बदलती है, जैसे किसी छोटी जनसंख्या से बिना प्रतिस्थापन के निकालना।
- मोड के बीच ऑफ-बाय-वन त्रुटियाँ — “न्यूनतम 4” “अधिकतम 4” का पूरक नहीं है; “अधिकतम 4” का पूरक “न्यूनतम 5” है।
- जहाँ इनपुट प्रतिशत की अपेक्षा करता है वहाँ सफलता प्रायिकता को प्रतिशत (50) के बजाय दशमलव (0.5) के रूप में दर्ज करना।
- द्विपद बंटन को किसी सतत परिणाम पर, या प्रति परीक्षण दो से अधिक संभावित परिणामों वाली गिनती पर लागू करना (जिसके लिए इसके बजाय एक बहुपद मॉडल चाहिए)।
- यह भूलना कि द्विपद बंटन मानता है कि p सभी n परीक्षणों में स्थिर रहता है — समय के साथ बदलती प्रायिकता मॉडल को अमान्य कर देती है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मैं द्विपद प्रायिकता कैसे निकालूँ?
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ का उपयोग करें, जहाँ n परीक्षणों की संख्या है, p सफलता प्रायिकता है, और C(n, k) n परीक्षणों में k सफलताएँ व्यवस्थित करने के तरीकों की गिनती करता है। “अधिकतम” या “न्यूनतम” के लिए, k के संबंधित सीमा पर इस फॉर्मूले का योग करें।
द्विपद बंटन का उपयोग करने के लिए कौन-सी शर्तें पूरी होनी चाहिए?
परीक्षणों की एक निश्चित संख्या (n) होनी चाहिए, हर परीक्षण में केवल दो संभावित परिणाम होने चाहिए (सफलता या विफलता), सफलता की प्रायिकता (p) परीक्षणों में स्थिर रहनी चाहिए, और परीक्षण एक-दूसरे से स्वतंत्र होने चाहिए।
सफलताओं की प्रत्याशित संख्या क्या है?
द्विपद बंटन का प्रत्याशित मान (माध्य) n × p है। उदाहरण के लिए, 20 परीक्षणों और 50% सफलता प्रायिकता के साथ, सफलताओं की प्रत्याशित संख्या 20 × 0.5 = 10 है।
'ठीक', 'अधिकतम' और 'न्यूनतम' में क्या अंतर है?
“ठीक k” ठीक k सफलताओं की प्रायिकता है। “अधिकतम k” 0 से k तक सफलताओं की प्रायिकताओं को जोड़ता है। “न्यूनतम k” k से n तक सफलताओं की प्रायिकताओं को जोड़ता है; यह अधिकतम k − 1 सफलताओं की प्रायिकता को 1 से घटाने के बराबर है।
प्रसामान्य बंटन कब द्विपद बंटन का सन्निकटन कर सकता है?
एक सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला अंगूठे का नियम यह है कि सन्निकटन उचित है जब n × p और n × (1 − p) दोनों कम से कम 5 हों। उस सीमा से बाहर, विशेष रूप से छोटे n या 0.5 से दूर p के लिए, सटीक द्विपद गणना अधिक विश्वसनीय है।
संदर्भ
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).