Cómo interpretar tu desviación estándar
En datos aproximadamente normales (con forma de campana), la regla empírica describe qué proporción de los datos cae dentro de un número dado de desviaciones estándar respecto a la media.
| Intervalo alrededor de la media | Proporción aproximada de datos (distribución normal) |
|---|---|
| Dentro de 1 desviación estándar | Alrededor del 68% |
| Dentro de 2 desviaciones estándar | Alrededor del 95% |
| Dentro de 3 desviaciones estándar | Alrededor del 99,7% |
- La regla empírica 68-95-99,7 se aplica a distribuciones aproximadamente normales; los datos muy asimétricos o de colas pesadas pueden apartarse bastante de esos porcentajes.
- Usa la forma muestral (n - 1) cuando los datos sean una muestra empleada para inferir sobre una población mayor; usa la poblacional (n) solo cuando el conjunto de datos sea la población completa de interés.
- La desviación estándar es sensible a los valores atípicos porque las desviaciones se elevan al cuadrado; un único valor extremo puede inflarla de forma notable.
- Esta calculadora requiere al menos dos valores, dado que la dispersión no puede estimarse a partir de una sola observación.
¿Qué es la desviación estándar?
La desviación estándar cuantifica la distancia típica de los valores respecto a su media. Una desviación estándar pequeña indica que los valores se agrupan de forma compacta alrededor de la media; una grande, que están muy dispersos. Se expresa en las mismas unidades que los datos, lo que facilita su interpretación frente a la varianza (su cuadrado).
El punto didáctico esencial es la distinción entre la forma muestral y la poblacional. La desviación estándar poblacional (sigma) divide la suma de desviaciones al cuadrado entre n, y solo es correcta cuando el conjunto de datos constituye la población completa de interés — por ejemplo, las calificaciones de todos los alumnos de una clase concreta. La desviación estándar muestral (s) divide en cambio entre n - 1, y es la correcta cuando los datos son una muestra empleada para estimar la dispersión de una población mayor.
Dividir entre n - 1 se conoce como corrección de Bessel. Dado que la media muestral se calcula a partir de esos mismos datos, las desviaciones respecto a ella son sistemáticamente algo menores que las desviaciones respecto a la verdadera media poblacional (desconocida); dividir entre n - 1 en lugar de n compensa ese efecto y convierte la varianza muestral en un estimador insesgado de la varianza poblacional. La corrección pesa sobre todo en muestras pequeñas y se vuelve insignificante a medida que n crece.
Cómo usar esta calculadora de desviación estándar
- Introduce al menos dos números separados por ;, por ejemplo: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Lee la desviación estándar muestral (s) si tus datos son una muestra de una población mayor, el caso habitual en encuestas, experimentos y controles de calidad.
- Lee la desviación estándar poblacional (sigma) si tus datos constituyen la población completa de interés.
- Usa la media, la varianza muestral y el recuento para comprobar el cálculo o llevarlo a análisis posteriores, como intervalos de confianza y puntuaciones Z.
Fórmulas de la desviación estándar
Ambas formas empiezan igual: calcula la media, réstala de cada valor, eleva al cuadrado cada desviación y suma los cuadrados. La forma poblacional divide esa suma entre n y toma la raíz cuadrada; la muestral divide entre n - 1 y toma la raíz cuadrada.
Ejemplo resuelto: los valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Paso 1 — media: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Paso 2 — desviaciones al cuadrado: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, que suman 32. Paso 3 (poblacional) — 32 / 8 = 4, y √4 = 2. Paso 4 (muestral) — 32 / 7 = 4,571429 (la varianza muestral), y √4,571429 = 2,13809 (redondeado).
El valor muestral es siempre algo mayor que el poblacional para los mismos datos, porque divide entre un número menor; la excepción es que todos los valores sean idénticos, en cuyo caso ambos valen cero. La diferencia se reduce a medida que la muestra crece.
Errores frecuentes
- Aplicar la fórmula poblacional (dividir entre n) a datos muestrales: eso subestima de forma sistemática la dispersión de la población de la que procede la muestra; en muestras hay que dividir entre n - 1.
- Confundir varianza con desviación estándar: la varianza es el cuadrado de la desviación estándar y se expresa en unidades al cuadrado.
- Aplicar la regla 68-95-99,7 a datos claramente asimétricos o de colas pesadas, donde no se cumple.
- Comparar desviaciones estándar de conjuntos medidos en unidades distintas o en escalas muy diferentes sin estandarizar (para la dispersión relativa, el coeficiente de variación divide entre la media).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre la desviación estándar muestral y la poblacional?
La poblacional divide la suma de desviaciones al cuadrado entre n y es la correcta cuando tus datos son la población completa. La muestral divide entre n - 1 (corrección de Bessel) y es la correcta cuando tus datos son una muestra empleada para estimar la dispersión de una población mayor. Para los mismos datos, el valor muestral es siempre algo mayor (ambos valen cero si todos los valores son idénticos); la diferencia se difumina conforme crece el tamaño de la muestra.
¿Por qué se divide entre n - 1 y no entre n?
Porque la media muestral se calcula a partir de esos mismos datos, las desviaciones observadas respecto a ella son sistemáticamente algo menores que las desviaciones respecto a la verdadera media poblacional. Dividir entre n - 1 en lugar de n compensa ese sesgo y convierte la varianza muestral en un estimador insesgado de la varianza poblacional. Este ajuste se denomina corrección de Bessel.
¿Cómo se calcula la desviación estándar a mano?
Halla primero la media. Después resta la media de cada valor, eleva al cuadrado cada resultado y suma los cuadrados. Para una muestra, divide esa suma entre n - 1; para una población, entre n. Por último, toma la raíz cuadrada. Ejemplo: para 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la media es 5, las desviaciones al cuadrado suman 32, y la desviación estándar muestral es √(32 / 7) = 2,138 (redondeado).
¿Qué significa una desviación estándar de 0?
Significa que todos los valores del conjunto son idénticos: no hay dispersión alguna. Cuanto mayor es la desviación estándar, más se apartan los valores de la media de forma típica. La desviación estándar nunca puede ser negativa.
¿Qué es la regla 68-95-99,7?
En datos aproximadamente normales (con forma de campana), alrededor del 68% de los valores queda dentro de una desviación estándar de la media, cerca del 95% dentro de dos y en torno al 99,7% dentro de tres. Es una forma rápida de juzgar si una observación resulta inusual, pero solo es fiable cuando la distribución es aproximadamente normal.
¿Son lo mismo la varianza y la desviación estándar?
No. La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media, y la desviación estándar es su raíz cuadrada. La varianza se expresa en unidades al cuadrado (por ejemplo, cm^2 para datos medidos en cm), y por eso al describir la dispersión suele citarse la desviación estándar, que conserva las unidades originales.
Referencias
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.