La fórmula de la puntuación Z: estandarizar un valor
Una puntuación Z, también llamada puntuación estándar, convierte un valor bruto en una medida de qué tan lejos se encuentra ese valor de la media de su distribución, expresada en unidades de desviación estándar en lugar de las unidades originales. La fórmula es z = (x - media) / desviación estándar, donde x es el valor que se estandariza. Una puntuación Z de 0 significa que el valor es exactamente igual a la media; una puntuación Z positiva significa que el valor está por encima de la media; una puntuación Z negativa significa que el valor está por debajo de la media.
Estandarizar los valores de esta manera hace posible comparar mediciones que provienen de escalas o distribuciones diferentes -- por ejemplo, comparar el desempeño de un estudiante en dos exámenes distintos con medias y dispersiones diferentes, o comparar un resultado de laboratorio individual contra un rango de referencia. Como la puntuación Z elimina tanto las unidades como la escala originales, una puntuación Z de +1 siempre significa relativamente lo mismo (una desviación estándar por encima de la media de la distribución de la que provenga), sin importar qué se esté midiendo.
¿Qué significa 'dos desviaciones estándar sobre la media'?
Decir que un valor está dos desviaciones estándar sobre la media es simplemente otra forma de decir que su puntuación Z es +2: el valor está más alejado de la media que una observación típica, en una cantidad igual a dos veces la desviación estándar de la distribución. Como la desviación estándar mide la dispersión típica de los datos, una puntuación Z de 2 o más (o de -2 o menos) se considera convencionalmente inusual, ya que relativamente pocas observaciones en una distribución aproximadamente normal caen tan lejos del centro.
Esta expresión es puramente descriptiva de la posición dentro de una distribución -- no dice por sí misma si estar dos desviaciones estándar sobre la media es bueno, malo o neutral. Una puntuación Z de +2 en una distribución de calificaciones de examen generalmente indica un resultado sólido, mientras que una puntuación Z de +2 en una distribución de presión arterial generalmente indica una lectura muy por encima de lo típico y que merece atención clínica. La puntuación Z reporta la distancia respecto a la media; interpretar qué significa esa distancia siempre depende de qué se esté midiendo.
La distribución normal estándar y los percentiles
Cuando los datos subyacentes son aproximadamente normales (con forma de campana), una puntuación Z puede convertirse en un percentil usando la función de distribución acumulada normal estándar, que da la proporción de la distribución que se encuentra por debajo de una puntuación Z dada. Esta conversión es lo que permite reformular una puntuación Z como 'este valor es mayor que aproximadamente el X% de la distribución'. La siguiente tabla enumera percentiles estándar y bien establecidos para puntuaciones Z enteras de -2 a +3.
| Puntuación Z | Percentil (proporción de la distribución debajo) | Proporción arriba |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | 97,72% |
| -1 | 15,87% | 84,13% |
| 0 | 50,00% | 50,00% |
| +1 | 84,13% | 15,87% |
| +2 | 97,72% | 2,28% |
| +3 | 99,87% | 0,13% |
Ejemplo resuelto: convertir un puntaje bruto en un percentil
Considera un valor de x = 130 tomado de una distribución con media 100 y desviación estándar 15 (la escala clásica usada para los puntajes de CI). Paso 1: calcula la puntuación Z, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Paso 2: busca z = 2 en la distribución normal estándar, que corresponde al percentil 97,72, lo que significa que aproximadamente el 97,72% de la distribución se encuentra en o por debajo de un valor de 130, y aproximadamente el 2,28% se encuentra por encima.
Un segundo ejemplo con la misma escala: un valor de x = 85 da z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1, que corresponde al percentil 15,87 -- lo que significa que este valor se ubica por debajo de aproximadamente el 84,13% de la distribución y por encima de aproximadamente el 15,87% de ella. En ambos casos, todo el cálculo se reduce a dos pasos: estandarizar el valor en una puntuación Z, y luego leer el percentil correspondiente en la distribución normal estándar.
La regla empírica 68-95-99,7
Para datos aproximadamente normales, la regla empírica (a veces llamada la regla 68-95-99,7) ofrece una forma rápida de juzgar qué tan inusual es una puntuación Z sin necesidad de una búsqueda completa de percentil: alrededor del 68% de los valores caen dentro de una desviación estándar de la media (z entre -1 y +1), alrededor del 95% caen dentro de dos desviaciones estándar (z entre -2 y +2), y alrededor del 99,7% caen dentro de tres desviaciones estándar (z entre -3 y +3).
Esta regla se deriva directamente de la tabla de percentiles anterior: la proporción entre z = -1 y z = +1 es 84,13% - 15,87% = 68,26%, la proporción entre z = -2 y z = +2 es 97,72% - 2,28% = 95,44%, y la proporción entre z = -3 y z = +3 es 99,87% - 0,13% = 99,74% -- todo consistente con las aproximaciones comúnmente citadas de 68%, 95% y 99,7%. La regla aplica solo cuando la distribución subyacente es aproximadamente normal; los datos sesgados o de colas pesadas pueden apartarse sustancialmente de estas proporciones aunque las puntuaciones Z todavía puedan calcularse para ellos.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula una puntuación Z?
Resta la media del valor y luego divide entre la desviación estándar: z = (x - media) / de. Por ejemplo, un valor de 130 en una escala con media 100 y desviación estándar 15 da z = (130 - 100) / 15 = 2, lo que significa que el valor se ubica dos desviaciones estándar sobre la media.
¿Qué percentil corresponde a una puntuación Z de 2?
Aproximadamente el percentil 97,72. La distribución normal estándar coloca alrededor del 97,72% de los valores en o por debajo de una puntuación Z de 2, lo que significa que un valor con esa puntuación Z es mayor que aproximadamente el 97,72% de la distribución y menor que aproximadamente el 2,28% de ella, suponiendo que los datos subyacentes sean aproximadamente normales.
¿Qué significa estar dos desviaciones estándar sobre la media?
Significa que el valor tiene una puntuación Z de +2: está más alejado por encima del promedio que una observación típica, en una cantidad igual a dos veces la desviación estándar de la distribución. Para datos aproximadamente normales, alrededor del 97,72% de la distribución se encuentra en o por debajo de este valor, lo que lo convierte en un resultado relativamente poco común -- aunque si eso es deseable depende por completo de qué se esté midiendo.
¿Las puntuaciones Z requieren que los datos estén distribuidos normalmente?
El cálculo de la puntuación Z en sí, z = (x - media) / de, está definido para cualquier distribución y no requiere normalidad. Sin embargo, convertir una puntuación Z en un percentil usando la distribución normal estándar -- como en los ejemplos anteriores -- solo es preciso cuando los datos subyacentes son aproximadamente normales (con forma de campana); para datos sesgados o de colas pesadas, los percentiles deben leerse directamente de los datos en su lugar.
¿Qué es la regla 68-95-99,7?
Es una forma abreviada de expresar cuánto de una distribución aproximadamente normal cae dentro de una, dos y tres desviaciones estándar de la media: alrededor del 68% dentro de una desviación estándar (z entre -1 y +1), alrededor del 95% dentro de dos (z entre -2 y +2), y alrededor del 99,7% dentro de tres (z entre -3 y +3). Ofrece una forma rápida de juzgar qué tan inusual es un valor sin hacer una búsqueda completa de percentil.
Referencias
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).