Qué es un intervalo de confianza
Un intervalo de confianza es un rango de valores plausibles para un parámetro poblacional desconocido -- más a menudo una media o una proporción poblacional -- calculado a partir de una muestra de datos. Se construye alrededor de una estimación puntual, como una media muestral, y se extiende hacia afuera en ambas direcciones por un margen de error, de modo que el intervalo en su conjunto está diseñado para capturar el verdadero valor poblacional desconocido un porcentaje especificado de las veces si el mismo procedimiento de muestreo y cálculo se repitiera muchas veces.
El porcentaje elegido, llamado nivel de confianza, es más comúnmente 90%, 95% o 99%. Un intervalo más amplio brinda mayor confianza de que captura el verdadero valor, pero a costa de la precisión; un intervalo más estrecho es más preciso pero conlleva un nivel de confianza menor, o requiere una muestra más grande para mantener el mismo nivel de confianza. Esta disyuntiva entre precisión y confianza es inevitable y es central para interpretar correctamente cualquier intervalo reportado.
La interpretación errónea común de la «confianza del 95%»
Es una interpretación errónea común y bien documentada leer un intervalo de confianza del 95% como si significara que hay un 95% de probabilidad de que el verdadero valor poblacional se encuentre dentro de ese único intervalo específico ya calculado. Esta lectura no es técnicamente correcta: una vez que un intervalo particular ha sido calculado a partir de una muestra particular, el verdadero valor poblacional o bien se encuentra dentro de él o bien no -- no queda ninguna aleatoriedad a la cual atribuir una probabilidad para ese único intervalo. El 95% describe la tasa de éxito a largo plazo del método usado para construir el intervalo, a través de muchas muestras repetidas hipotéticas, no una afirmación de probabilidad sobre un intervalo concreto después del hecho.
Hoekstra y colaboradores (2014), publicando en Psychonomic Bulletin and Review, documentaron que esta distinción es ampliamente malentendida, incluso entre investigadores y estudiantes de estadística, muchos de los cuales interpretaron un intervalo de confianza del 95% como si describiera directamente la probabilidad de que el verdadero valor cayera dentro de ese intervalo específico. La interpretación técnicamente correcta se refiere a la confiabilidad del método a través de muestreos repetidos, no a una afirmación de probabilidad sobre un único resultado ya observado.
Margen de error: el componente básico de un intervalo de confianza
El margen de error es la distancia que el intervalo de confianza se extiende a cada lado de la estimación puntual, y se calcula como un valor crítico (z, para un intervalo basado en la normal) multiplicado por el error estándar de la estimación. Para una media, el error estándar es la desviación estándar dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra: error estándar = desviación estándar / sqrt(n). Una muestra más grande reduce el error estándar, y por tanto el margen de error y el ancho general del intervalo, en proporción a la raíz cuadrada de n.
El valor crítico z depende del nivel de confianza elegido: 1,6449 para una confianza del 90%, 1,96 para una confianza del 95%, y 2,5758 para una confianza del 99%, cada uno representando el punto en la distribución normal estándar que deja la probabilidad total correspondiente en las dos colas. Un nivel de confianza más alto requiere un valor crítico mayor, lo que amplía el margen de error y por tanto el intervalo resultante, en igualdad de las demás condiciones.
Ejemplo resuelto: construir un intervalo de confianza del 95% para una media
Supongamos que una muestra de n = 100 observaciones tiene una media de 50 y una desviación estándar de 8, y se requiere un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional. Paso 1: calcula el error estándar, 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0,8. Paso 2: calcula el margen de error usando el valor crítico del 95%, 1,96 x 0,8 = 1,568. Paso 3: suma y resta el margen de error a la media muestral: 50 - 1,568 = 48,432, y 50 + 1,568 = 51,568.
El intervalo de confianza del 95% resultante es de 48,432 a 51,568. La interpretación correcta es que si este mismo procedimiento de muestreo y cálculo se repitiera muchas veces sobre nuevas muestras de 100 de la misma población, aproximadamente el 95% de los intervalos construidos de esta manera contendrían la verdadera media poblacional -- no que haya un 95% de probabilidad de que la verdadera media se encuentre específicamente entre 48,432 y 51,568 en este caso concreto.
Cómo el nivel de confianza y el tamaño de la muestra cambian el intervalo
Manteniendo la muestra fija (media 50, desviación estándar 8, n = 100), la siguiente tabla muestra cómo los mismos datos subyacentes producen diferentes anchos de intervalo dependiendo únicamente del nivel de confianza elegido. Una confianza más alta siempre amplía el intervalo, porque un método más confiable (uno que tiene éxito con más frecuencia a través de muestreos repetidos) debe, por construcción, cubrir un rango más amplio de valores plausibles.
| Nivel de confianza | Valor crítico z | Margen de error | Intervalo resultante |
|---|---|---|---|
| 90% | 1,6449 | 1,316 | 48,684 a 51,316 |
| 95% | 1,96 | 1,568 | 48,432 a 51,568 |
| 99% | 2,5758 | 2,061 | 47,939 a 52,061 |
Preguntas frecuentes
¿Qué significa realmente un intervalo de confianza del 95%?
Significa que si el mismo procedimiento de muestreo y cálculo se repitiera muchas veces, aproximadamente el 95% de los intervalos resultantes contendrían el verdadero valor poblacional. No significa que haya un 95% de probabilidad de que el verdadero valor caiga dentro de este único intervalo específico ya calculado -- una distinción documentada como un malentendido generalizado por Hoekstra y colaboradores (2014) en Psychonomic Bulletin and Review.
¿Cómo se calcula un intervalo de confianza del 95% para una media?
Calcula el error estándar (la desviación estándar dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra), multiplícalo por el valor crítico del 95% de 1,96 para obtener el margen de error, y luego suma y resta ese margen a la media muestral. Para una muestra con media 50, desviación estándar 8 y n = 100: error estándar = 0,8, margen de error = 1,568, y el intervalo es de 48,432 a 51,568.
¿Qué es un margen de error?
El margen de error es la cantidad que se suma y se resta a una estimación puntual, como una media muestral, para formar un intervalo de confianza. Se calcula como un valor crítico (que depende del nivel de confianza elegido) multiplicado por el error estándar de la estimación. Un margen de error mayor produce un intervalo más amplio y menos preciso; un margen de error menor produce uno más estrecho y más preciso.
¿Por qué es incorrecto decir que hay un 95% de probabilidad de que el verdadero valor esté en este intervalo?
Porque una vez que un intervalo específico ha sido calculado a partir de una muestra específica, el verdadero valor poblacional o bien está dentro de él o bien no -- no queda ninguna aleatoriedad a la cual asignar una probabilidad. El 95% es una propiedad del método usado para construir el intervalo, que describe con qué frecuencia tiene éxito a través de muchas muestras repetidas hipotéticas, no una afirmación de probabilidad sobre un único intervalo después de que ya ha sido calculado.
¿Un tamaño de muestra mayor hace que un intervalo de confianza sea más estrecho?
Sí. El error estándar, y por tanto el margen de error y el ancho general del intervalo, se calcula dividiendo la desviación estándar entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Como el tamaño de la muestra entra bajo una raíz cuadrada, cuadruplicar el tamaño de la muestra reduce a la mitad el ancho del intervalo, mientras que una muestra más pequeña produce un intervalo proporcionalmente más amplio y menos preciso para el mismo nivel de confianza.
¿Por qué un nivel de confianza más alto produce un intervalo más amplio?
Un nivel de confianza más alto, como 99% en lugar de 95%, requiere un valor crítico mayor (2,5758 frente a 1,96), lo que aumenta el margen de error y amplía el intervalo resultante. Esto refleja una disyuntiva inevitable: un método que necesita tener éxito con más frecuencia a través de muestreos repetidos debe cubrir un rango más amplio de valores plausibles para lograrlo.
Referencias
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.