Cómo interpretar tu resultado del teorema de Bayes
Manteniendo fijas la sensibilidad en el 95 % y la tasa de falsos positivos en el 5 %, la tabla muestra hasta qué punto cambia la probabilidad a posteriori según la probabilidad a priori: este es el efecto de la tasa base, el corazón mismo del teorema de Bayes.
| Probabilidad a priori P(A) | P(A | B) a posteriori, con 95 % de sensibilidad y 5 % de falsos positivos |
|---|---|
| 0,1 % | ≈ 1,87 % |
| 1 % | ≈ 16,10 % |
| 10 % | ≈ 67,86 % |
| 50 % | ≈ 95,00 % |
- La probabilidad a posteriori es muy sensible a la probabilidad a priori, sobre todo cuando esta es pequeña; por eso no se puede desatender la tasa base al interpretar un resultado positivo o cualquier otra evidencia nueva.
- La fórmula de esta calculadora sirve para una partición binaria: un suceso A y su complementario ¬A. Las situaciones con más de dos posibilidades mutuamente excluyentes, como varios diagnósticos candidatos, exigen la forma completa del teorema de la probabilidad total sobre todas ellas.
- La tasa de falsos positivos, P(B | ¬A), no es lo mismo que la especificidad: equivale a 1 menos la especificidad, de modo que una prueba descrita como «específica al 95 %» tiene una tasa de falsos positivos del 5 %.
- Redondear las probabilidades intermedias antes de combinarlas puede distorsionar de forma apreciable el resultado final, en especial cuando la probabilidad a priori es pequeña; conviene arrastrar toda la precisión posible a lo largo del cálculo.
¿Qué es el teorema de Bayes?
El teorema de Bayes es la fórmula que permite actualizar la probabilidad de un suceso (A) después de observar una nueva evidencia (B), combinando una probabilidad a priori con lo verosímil que resulta esa evidencia en cada escenario. Se escribe P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B) y convierte una probabilidad «directa» —por ejemplo, lo probable que es un resultado positivo dado que la enfermedad está presente— en la probabilidad «inversa», que es la que de verdad interesa: lo probable que es la enfermedad dado un resultado positivo.
Esta calculadora emplea el planteamiento habitual de las pruebas diagnósticas: P(A) es la probabilidad a priori, o prevalencia, de la condición en la población de referencia antes de realizar prueba alguna; P(B | A) es la sensibilidad, es decir, la probabilidad de un resultado positivo dado que la condición está presente; y P(B | ¬A) es la tasa de falsos positivos, la probabilidad de un resultado positivo dado que la condición está ausente, igual a 1 menos la especificidad.
La falacia de la tasa base consiste en el error, muy extendido, de fijarse en la sensibilidad de una prueba y desatender la probabilidad a priori. Una prueba puede tener sensibilidad alta y tasa de falsos positivos baja y, aun así, arrojar una probabilidad a posteriori muy inferior a lo que dicta la intuición siempre que la condición estudiada sea rara en la población.
Cómo usar esta calculadora del teorema de Bayes
- Introduce la probabilidad a priori P(A), es decir, la tasa base del suceso o de la condición en la población de referencia, expresada como porcentaje.
- Introduce P(B | A), la sensibilidad: la probabilidad de observar la evidencia dado que el suceso es cierto.
- Introduce P(B | ¬A), la tasa de falsos positivos: la probabilidad de observar la evidencia dado que el suceso no es cierto.
- Consulta la probabilidad a posteriori P(A | B), la probabilidad total de la evidencia P(B) y la razón de verosimilitudes o factor de Bayes, que compara cuánto más verosímil resulta la evidencia bajo A que bajo ¬A.
La fórmula detrás del teorema de Bayes
El teorema de Bayes desarrolla el denominador P(B) mediante el teorema de la probabilidad total sobre las dos posibilidades A y ¬A: P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / [P(B | A) × P(A) + P(B | ¬A) × (1 − P(A))].
Ejemplo resuelto: probabilidad a priori P(A) = 1 %, sensibilidad P(B | A) = 95 % y tasa de falsos positivos P(B | ¬A) = 5 %. Numerador: 0,95 × 0,01 = 0,0095. Probabilidad total de un resultado positivo: P(B) = 0,95 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059. Probabilidad a posteriori: P(A | B) = 0,0095 / 0,059 ≈ 0,1610, es decir, en torno al 16,10 %. Y ello pese a que la prueba identifica correctamente el 95 % de los casos reales: la mayoría de los positivos de este escenario proceden del grupo, mucho más numeroso, de personas que no tienen la condición.
La razón de verosimilitudes, o factor de Bayes, es P(B | A) / P(B | ¬A). En el ejemplo resuelto, 0,95 / 0,05 = 19, lo que significa que un resultado positivo es 19 veces más probable si A es cierto que si A es falso.
Errores frecuentes
- Confundir P(B | A), la sensibilidad, con P(A | B), la probabilidad a posteriori: dar por hecho que un resultado positivo en una prueba muy sensible implica una alta probabilidad de padecer realmente la condición, desatendiendo la tasa base, es la falacia de la tasa base de manual. Son probabilidades condicionadas distintas y no intercambiables.
- Ignorar por completo la probabilidad a priori: una prueba con un 95 % de sensibilidad y un 5 % de falsos positivos sigue dando una probabilidad a posteriori de apenas un 16 % cuando la tasa base es del 1 %, porque la mayoría de los positivos proceden del grupo, mucho mayor, de verdaderos negativos.
- Tratar la especificidad y la tasa de falsos positivos como equivalentes sin hacer la conversión: esta calculadora pide P(B | ¬A), la tasa de falsos positivos, que equivale a 1 menos la especificidad.
- Aplicar la fórmula de dos términos cuando existen más de dos posibilidades mutuamente excluyentes: la versión de A frente a ¬A solo vale para una partición binaria de los resultados.
- Redondear las probabilidades intermedias antes de combinarlas, lo que acumula error en un cálculo especialmente sensible a pequeñas variaciones de la probabilidad a priori cuando las tasas base son bajas.
Preguntas frecuentes
¿Por qué una prueba con un 95 % de acierto puede fallar casi siempre en un positivo?
Cuando la condición subyacente es rara, la mayoría de los positivos proceden del grupo, mucho más numeroso, de personas sin la condición que han dado un falso positivo, y no del reducido grupo de quienes sí la padecen. Con una probabilidad a priori del 1 %, un 95 % de sensibilidad y un 5 % de falsos positivos, la probabilidad a posteriori ante un resultado positivo es de apenas un 16,10 %, pese a que la prueba acierta en el 95 % de los casos reales.
¿Qué es la falacia de la tasa base?
La falacia de la tasa base es el error, muy frecuente, de juzgar la probabilidad de un suceso dada una evidencia —un resultado positivo, por ejemplo— atendiendo sobre todo a la precisión de esa evidencia y desatendiendo lo raro o lo común que es el suceso de partida. El teorema de Bayes lo corrige al incorporar de forma explícita la probabilidad a priori.
¿Qué diferencia hay entre sensibilidad, especificidad y tasa de falsos positivos?
La sensibilidad es la probabilidad de un resultado positivo dado que la condición está presente, P(B | A). La especificidad es la probabilidad de un resultado negativo dado que la condición está ausente. La tasa de falsos positivos es el complementario de la especificidad: la probabilidad de un resultado positivo dado que la condición está ausente, P(B | ¬A) = 1 − especificidad.
¿Qué es un factor de Bayes o razón de verosimilitudes?
El factor de Bayes, o razón de verosimilitudes, es P(B | A) dividido por P(B | ¬A): cuántas veces más verosímil resulta la evidencia observada bajo A que bajo ¬A. En el ejemplo resuelto de esta página, con un 95 % de sensibilidad y un 5 % de falsos positivos, el factor de Bayes vale 19, de modo que un resultado positivo es 19 veces más probable si la condición está presente que si está ausente.
¿Cómo influye la probabilidad a priori en la probabilidad a posteriori?
De forma drástica. Manteniendo fijas la sensibilidad y la tasa de falsos positivos, una probabilidad a priori más baja produce una probabilidad a posteriori mucho más baja, porque una proporción mayor de los positivos procede de los falsos positivos entre los numerosos verdaderos negativos. Elevar la probabilidad a priori del 1 % al 10 %, con un 95 % de sensibilidad y un 5 % de falsos positivos, hace subir la probabilidad a posteriori de un 16,10 % a un 67,86 % aproximadamente.
¿Deben sumar 100 % la probabilidad a priori, la sensibilidad y la tasa de falsos positivos?
No. Son tres probabilidades distintas que describen cosas distintas —la tasa base del suceso y las dos probabilidades condicionadas de la evidencia en cada escenario—, y ninguna de ellas tiene por qué sumar ningún total concreto.
Referencias
- Bayes T, Price R. An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1763; 53: 370-418.
- Kahneman D, Tversky A. On the psychology of prediction. Psychological Review 1973; 80(4): 237-251 (base-rate neglect in probability judgment).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — probability rules and Bayes' theorem. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (conditional probability and Bayes' rule).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (Bayes' theorem and conditional probability).