Qué significa realmente un intervalo de confianza
Un intervalo de confianza es un rango de valores, calculado a partir de datos de muestra, construido usando un método que se espera que capture el parámetro real de la población en un porcentaje específico de muestras repetidas -- más comúnmente el 95%. Un intervalo de confianza del 95% no significa que haya un 95% de probabilidad de que el valor real de la población se encuentre dentro de ese intervalo específico calculado; el valor real está o no está dentro de un intervalo dado, y la probabilidad se aplica al desempeño a largo plazo del método a través de un muestreo repetido, no a un intervalo único y fijo después de haber sido calculado.
Hoekstra y colegas (2014), publicando en Psychonomic Bulletin and Review, documentaron que esta distinción es ampliamente malinterpretada, incluso entre investigadores y estudiantes de estadística, muchos de los cuales interpretaron un intervalo de confianza del 95% como si describiera directamente la probabilidad de que el valor real cayera dentro de ese intervalo específico. La interpretación técnicamente correcta es una afirmación sobre la fiabilidad del método usado para construir el intervalo a través de muchas muestras repetidas hipotéticas, no una afirmación de probabilidad sobre un intervalo ya observado.
¿Qué determina el ancho de un intervalo de confianza?
El ancho de un intervalo de confianza está determinado principalmente por tres factores: el nivel de confianza deseado (comúnmente 90%, 95% o 99%), la variabilidad de los datos subyacentes (típicamente medida por la desviación estándar o, en el caso de proporciones, por p, la proporción estimada), y el tamaño de la muestra. Aumentar el nivel de confianza amplía el intervalo, porque capturar el valor real de forma más fiable a través de muestras repetidas requiere un rango más amplio. Aumentar el tamaño de la muestra estrecha el intervalo, porque muestras más grandes proporcionan estimaciones más precisas del valor poblacional.
Para una proporción, el margen de error de un intervalo de confianza se calcula como z x raíz cuadrada[p(1-p)/n], donde z es el valor z asociado con el nivel de confianza deseado (1,96 para un 95% de confianza), p es la proporción estimada (se usa 0,5 cuando la proporción real es desconocida, ya que produce el margen de error más grande y conservador), y n es el tamaño de la muestra. Como el tamaño de la muestra aparece bajo una raíz cuadrada en esta fórmula, reducir el margen de error a la mitad requiere aproximadamente cuadruplicar el tamaño de la muestra, no simplemente duplicarlo.
La fórmula de Cochran para el tamaño de muestra
La fórmula de Cochran, publicada por el estadístico William Cochran en Sampling Techniques, ofrece un método para estimar el tamaño de muestra mínimo necesario para una encuesta o estudio, calculado como n0 = (z^2 x p(1-p)) / e^2, donde z es el valor z para el nivel de confianza deseado, p es la proporción estimada (0,5 si se desconoce), y e es el margen de error deseado, expresado en decimal. Para un nivel de confianza del 95% (z = 1,96), un margen de error del 5% (e = 0,05), y variabilidad máxima (p = 0,5), la fórmula produce n0 = (1,96^2 x 0,5 x 0,5) / 0,05^2 = 384,16, redondeado hacia arriba a 385 encuestados.
Al muestrear de una población conocida y finita en lugar de una efectivamente infinita, la fórmula de Cochran incluye una corrección por población finita: n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N), donde N es el tamaño total de la población. Por ejemplo, al aplicar esta corrección a una población de 2.000, el tamaño de muestra requerido se reduce de 385 a aproximadamente 323, ya que una población total más pequeña requiere proporcionalmente menos encuestados para lograr el mismo margen de error.
Tamaño de muestra, nivel de confianza y margen de error: comparación resuelta
La siguiente tabla muestra cómo cambia el tamaño de muestra requerido, calculado usando la fórmula de Cochran con p = 0,5 para una población grande o infinita, a medida que cambian el nivel de confianza deseado y el margen de error. Niveles de confianza más altos y márgenes de error más pequeños aumentan ambos el tamaño de muestra requerido, y el margen de error tiene un efecto particularmente grande porque aparece al cuadrado en el denominador de la fórmula.
| Nivel de confianza | Margen de error | Valor z | Tamaño de muestra requerido (p = 0,5) |
|---|---|---|---|
| 90% | 5% | 1,645 | 271 |
| 95% | 5% | 1,96 | 385 |
| 95% | 3% | 1,96 | 1.068 |
| 99% | 5% | 2,576 | 664 |
Errores comunes al interpretar el «95% de confianza»
Más allá de la malinterpretación central de probabilidad descrita arriba, aparecen con frecuencia varios errores relacionados en la interpretación de intervalos de confianza en la comunicación de investigación y pública. Un error común es tratar un intervalo de confianza del 95% como si significara que el 95% de los datos individuales de la muestra caen dentro de ese rango; un intervalo de confianza describe la incertidumbre sobre un parámetro poblacional, como una media o proporción, no la dispersión de observaciones individuales, la cual se describe en cambio mediante la desviación estándar o un intervalo de predicción.
Otro error común es suponer que un intervalo de confianza más estrecho siempre indica un hallazgo más importante o más fiable, sin considerar el tamaño del efecto o la significancia práctica de la estimación en sí; una muestra muy grande puede producir un intervalo de confianza estrecho alrededor de un efecto que es estadísticamente preciso pero prácticamente insignificante. Un tercer error común es comparar dos intervalos de confianza que se superponen y suponer que sus valores subyacentes no son significativamente diferentes, o que intervalos que no se superponen siempre confirman una diferencia significativa; probar formalmente la diferencia entre dos estimaciones generalmente requiere una prueba estadística dedicada en lugar de la comparación visual de la superposición de intervalos.
Guía práctica para elegir un tamaño de muestra
Los investigadores y diseñadores de encuestas típicamente eligen un nivel de confianza y un margen de error objetivo según la precisión requerida para la decisión que informarán los datos, y luego usan una fórmula como la de Cochran para calcular el tamaño de muestra mínimo correspondiente antes de que comience la recolección de datos. Un nivel de confianza del 95% con un margen de error del 5% es un valor predeterminado común en la investigación de encuestas y las encuestas de opinión, equilibrando una estimación razonablemente precisa con un tamaño de muestra práctico y alcanzable.
Cuando la proporción estimada (p) no se conoce de antemano, usar p = 0,5 produce la estimación de tamaño de muestra más conservadora y grande, ya que p(1-p) se maximiza en p = 0,5; usar una estimación más específica de p, si está disponible a partir de investigación previa o un estudio piloto, puede reducir el tamaño de muestra requerido cuando se espera que la proporción real esté lejos del 50%. Organizaciones como la American Association for Public Opinion Research publican guías detalladas sobre la planificación del tamaño de muestra de encuestas y los informes metodológicos para investigadores que diseñan nuevos estudios.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa realmente un intervalo de confianza del 95%?
Un intervalo de confianza del 95% significa que si se repitiera muchas veces el mismo proceso de muestreo y cálculo, aproximadamente el 95% de los intervalos resultantes contendrían el valor real de la población. No significa que haya un 95% de probabilidad de que el valor real caiga dentro de este intervalo específico ya calculado. Esta distinción, documentada como un malentendido generalizado por Hoekstra y colegas (2014) en Psychonomic Bulletin and Review, es una de las interpretaciones erróneas más comunes de los intervalos de confianza tanto en la investigación como en la comunicación pública.
¿Cuántas personas necesito encuestar para un nivel de confianza del 95%?
Usando la fórmula de Cochran con un nivel de confianza del 95% (z = 1,96), un margen de error del 5%, y variabilidad máxima (p = 0,5), el tamaño de muestra requerido para una población grande o efectivamente infinita es de aproximadamente 385 encuestados. Si se muestrea de una población más pequeña y conocida, una corrección por población finita reduce esta cifra; por ejemplo, una población de 2.000 requiere aproximadamente 323 encuestados para lograr el mismo nivel de confianza y margen de error.
¿Duplicar el tamaño de muestra reduce a la mitad el margen de error?
No. Como el tamaño de muestra aparece bajo una raíz cuadrada en la fórmula del margen de error, z x raíz cuadrada[p(1-p)/n], reducir el margen de error a la mitad requiere aproximadamente cuadruplicar el tamaño de muestra, no duplicarlo. Esta relación de rendimientos decrecientes significa que se necesitan aumentos muy grandes en el tamaño de muestra para lograr mejoras relativamente pequeñas en la precisión una vez que un estudio ya tiene una muestra razonablemente grande.
¿Para qué se usa la fórmula de Cochran?
La fórmula de Cochran, del libro Sampling Techniques de William Cochran, estima el tamaño de muestra mínimo necesario para lograr un nivel de confianza y margen de error deseados al estimar una proporción poblacional. Se calcula como n0 = (z^2 x p(1-p)) / e^2, y se usa ampliamente en investigación de encuestas, investigación de mercado y estudios de salud pública para determinar cuántos encuestados o participantes se necesitan antes de que comience la recolección de datos.
¿Un intervalo de confianza estrecho significa que un resultado es más importante?
No necesariamente. Un intervalo de confianza estrecho indica una mayor precisión estadística, a menudo lograda mediante un tamaño de muestra más grande, pero la precisión no es lo mismo que la significancia práctica. Un estudio muy grande puede producir un intervalo de confianza estrecho y estadísticamente preciso alrededor de un efecto demasiado pequeño para ser prácticamente relevante, mientras que un estudio más pequeño podría producir un intervalo más amplio alrededor de un efecto grande y prácticamente importante. Interpretar un intervalo de confianza requiere considerar tanto su ancho como el tamaño de la estimación que rodea.
Referencias
- Cochran WG. Sampling Techniques. 3rd ed. Wiley, 1977.
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.
- Kalton G. Introduction to Survey Sampling. Sage Publications, 1983.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. 9th ed. W.H. Freeman, 2017.
- American Association for Public Opinion Research. "Best Practices for Survey Research." AAPOR.org.