Cómo interpretar los cuatro resultados
La tabla siguiente muestra cada salida para el ejemplo P(A) = 50%, P(B) = 30%, suponiendo independencia.
| Resultado | Fórmula | Valor de ejemplo |
|---|---|---|
| Ambos, A y B | P(A) x P(B) | 0,5 x 0,3 = 15% |
| Al menos uno (A o B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0,5 + 0,3 - 0,15 = 65% |
| A no ocurre | 1 - P(A) | 1 - 0,5 = 50% |
| No ocurre ninguno | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0,5 x 0,7 = 35% |
- Todos los resultados suponen que A y B son independientes. Si los sucesos se influyen mutuamente (sucesos dependientes), estas fórmulas no se aplican y hacen falta probabilidades condicionadas.
- «Ocurre al menos uno» y «no ocurre ninguno» son complementarios: sus probabilidades suman siempre el 100%.
- Las probabilidades describen frecuencias a largo plazo tras muchas repeticiones; una probabilidad del 15% no significa que el suceso ocurra exactamente en 15 de los próximos 100 intentos.
¿Qué es la probabilidad de sucesos combinados?
Una probabilidad es un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%) que expresa cuán verosímil es un suceso: 0 significa imposible y 1 significa seguro. Cuando se consideran dos sucesos a la vez, las reglas estándar de la probabilidad determinan cómo se combinan sus probabilidades individuales en la probabilidad de resultados conjuntos como «ocurren ambos» o «ocurre al menos uno».
Esta calculadora supone que los dos sucesos son independientes: saber que uno ocurrió no aporta información sobre si ocurre el otro. Los lanzamientos de moneda, las tiradas de dados separadas y las extracciones aleatorias sin relación entre sí son ejemplos clásicos de independencia. Bajo independencia, la probabilidad de que ocurran ambos es simplemente el producto de sus probabilidades individuales: P(A y B) = P(A) x P(B).
El supuesto de independencia es esencial y debe contrastarse con la situación real, no darse por sentado. Extraer dos cartas de la misma baraja sin reposición, o dos fenómenos meteorológicos del mismo día, son sucesos dependientes — el primer resultado altera las probabilidades del segundo — y entonces la regla del producto subestima o sobrestima la verdadera probabilidad conjunta. Para sucesos dependientes hacen falta probabilidades condicionadas: P(A y B) = P(A) x P(B dado A).
Cómo usar esta calculadora de probabilidad
- Introduce la probabilidad del suceso A como porcentaje entre 0 y 100; por ejemplo, 50 para que una moneda equilibrada salga cara.
- Introduce la probabilidad del suceso B como porcentaje, por ejemplo 30.
- Confirma que los dos sucesos son realmente independientes: que uno ocurra no debe alterar la probabilidad del otro. Las fórmulas empleadas aquí solo son válidas bajo ese supuesto.
- Lee las cuatro probabilidades combinadas: ocurren ambos, ocurre al menos uno, A no ocurre y no ocurre ninguno.
Reglas de probabilidad para sucesos independientes
Regla del producto (ocurren ambos): en sucesos independientes, P(A y B) = P(A) x P(B). Regla del complementario: P(no A) = 1 - P(A). No ocurre ninguno: P(ninguno) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), que aplica la regla del producto a los dos complementarios. Ocurre al menos uno (inclusión-exclusión): P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B).
Ejemplo resuelto con P(A) = 50% y P(B) = 30%, escritos como 0,5 y 0,3. Ambos: 0,5 x 0,3 = 0,15 = 15%. Al menos uno: 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65 = 65%. No A: 1 - 0,5 = 0,5 = 50%. Ninguno: 0,5 x 0,7 = 0,35 = 35%. Como comprobación de coherencia, «al menos uno» y «ninguno» son complementarios: 65% + 35% = 100%.
La resta de P(A y B) en la fórmula de «al menos uno» evita el doble recuento: los resultados en los que ocurren ambos sucesos se contarían una vez en P(A) y otra en P(B).
Errores frecuentes
- Sumar probabilidades para «A o B» sin restar el solapamiento: P(A) + P(B) por sí solo cuenta dos veces los resultados en que ocurren ambos, e incluso puede superar el 100%.
- Multiplicar probabilidades de sucesos dependientes como si fueran independientes: extraer cartas sin reposición es el contraejemplo clásico.
- La falacia del jugador: tratar ensayos independientes como si los resultados pasados modificaran las probabilidades futuras; una moneda equilibrada que ha salido cara cinco veces sigue teniendo un 50% de probabilidad de cara en el siguiente lanzamiento.
- Confundir «ocurren ambos» con «ocurre al menos uno»: para P(A) = 50% y P(B) = 30% son 15% y 65%, magnitudes muy distintas.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que dos sucesos sean independientes?
Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro; formalmente, P(A y B) = P(A) x P(B). Lanzamientos de moneda distintos y tiradas de dados sin relación son independientes; extraer dos cartas de la misma baraja sin reposición no lo es, porque la primera extracción cambia la composición de la baraja.
¿Cómo se calcula la probabilidad de que ocurran ambos sucesos?
En sucesos independientes, multiplica las probabilidades individuales: P(A y B) = P(A) x P(B). Por ejemplo, con P(A) = 50% y P(B) = 30%, la probabilidad de que ocurran ambos es 0,5 x 0,3 = 0,15, es decir, el 15%. Esta regla del producto solo es válida cuando los sucesos son independientes.
¿Cómo se calcula la probabilidad de que ocurra al menos un suceso?
Aplica la regla de inclusión-exclusión: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B). Con sucesos independientes del 50% y el 30%, eso da 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, es decir, el 65%. De forma equivalente, calcula 1 menos la probabilidad de que no ocurra ninguno: 1 - (0,5 x 0,7) = 0,65.
¿Por qué no puedo sumar sin más las dos probabilidades para «A o B»?
Porque los resultados en los que ocurren ambos sucesos se contarían dos veces: una en P(A) y otra en P(B). Sumar 50% y 30% da 80%, pero la respuesta correcta para sucesos independientes es 65% una vez restado el solapamiento del 15%. La suma directa solo es válida para sucesos mutuamente excluyentes, que por definición no pueden darse a la vez.
¿Qué pasa si mis sucesos no son independientes?
Entonces estas fórmulas no se aplican. En sucesos dependientes, la probabilidad conjunta emplea una probabilidad condicionada: P(A y B) = P(A) x P(B dado A), donde P(B dado A) es la probabilidad de B una vez que se sabe que A ha ocurrido. Por ejemplo, la probabilidad de extraer dos ases de una baraja estándar sin reposición es (4/52) x (3/51), no (4/52) x (4/52).
Referencias
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.