¿Qué media conviene usar?
Cada media responde a una pregunta distinta. La tabla siguiente resume cuándo cada una es el resumen adecuado.
| Media | Úsala cuando los valores se combinan por | Aplicaciones habituales |
|---|---|---|
| Aritmética | Adición | Calificaciones, estaturas, temperaturas, promedios generales |
| Geométrica | Multiplicación | Tasas de crecimiento, rentabilidades, razones, números índice |
| Armónica | Inversos (tasas) | Velocidad media sobre distancias iguales, ratios precio-beneficio, resistencias en paralelo |
- La media geométrica y la armónica solo están definidas con valores todos positivos. Esta calculadora las omite cuando la lista contiene ceros o números negativos.
- En cualquier conjunto de datos positivos, media aritmética >= media geométrica >= media armónica, con igualdad únicamente cuando todos los valores son iguales (desigualdad MA-MG-MH).
- Promediar tasas de crecimiento porcentual con la media aritmética sobrestima el crecimiento acumulado; la media geométrica de los factores de crecimiento da la tasa constante equivalente correcta.
¿Qué son las medias aritmética, geométrica y armónica?
La media aritmética es la suma de los valores dividida entre su cantidad. Es el promedio adecuado para magnitudes que se combinan por adición, como estaturas, calificaciones o temperaturas, y es lo que la mayoría entiende por «el promedio».
La media geométrica es la raíz n-ésima del producto de n valores positivos. Es el promedio adecuado para magnitudes que se combinan por multiplicación, como tasas de crecimiento y razones: la media geométrica de los factores de crecimiento anuales da la tasa constante que produciría el mismo crecimiento acumulado. Solo está definida con datos todos positivos, dado que un cero anula el producto y los valores negativos pueden volver no real la raíz.
La media armónica es la cantidad de valores dividida entre la suma de sus inversos. Es el promedio adecuado para tasas con numerador fijo, siendo el caso clásico la velocidad media sobre distancias iguales. Igual que la geométrica, exige que todos los valores sean positivos. En cualquier conjunto de datos positivos, las tres medias cumplen la desigualdad aritmética >= geométrica >= armónica, con igualdad únicamente cuando todos los valores son idénticos.
Cómo usar esta calculadora de medias
- Introduce tus números separados por ;, por ejemplo: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Lee la media aritmética, que se muestra siempre.
- Si todos los valores son positivos, lee también la media geométrica y la armónica; no están definidas cuando la lista contiene ceros o valores negativos, así que en ese caso se omiten.
- Elige la media que corresponda a tu problema: aritmética para magnitudes aditivas, geométrica para tasas de crecimiento y razones, armónica para tasas como velocidades sobre distancias iguales.
Fórmulas de las tres medias
Media aritmética: suma los n valores y divide entre n. Media geométrica: multiplica los n valores y toma la raíz n-ésima (en la práctica se calcula como la exponencial de la media de los logaritmos). Media armónica: divide n entre la suma de los inversos.
Ejemplo resuelto con los valores 1, 4 y 16. Aritmética: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Geométrica: el producto es 1 x 4 x 16 = 64, y la raíz cúbica de 64 es 4. Armónica: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, aproximadamente 2,285714. Observa que 7 >= 4 >= 2,285714, lo que ilustra la desigualdad aritmética-geométrica-armónica.
Ejemplo de velocidad para la media armónica: recorrer la misma distancia a 30 km/h y luego a 60 km/h da una velocidad media de 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, y no la media aritmética de 45 km/h, porque se pasa más tiempo a la velocidad más lenta.
Errores frecuentes
- Usar la media aritmética para tasas de crecimiento: un año de +50% seguido de otro de -50% promedia 0% en términos aritméticos, y sin embargo la inversión acumula una caída del 25%; la media geométrica de los factores 1,5 y 0,5 (unos 0,866) refleja el cambio medio real.
- Promediar velocidades sobre distancias iguales con la media aritmética: los tramos de igual distancia exigen la media armónica.
- Aplicar la media geométrica o la armónica a datos con ceros o valores negativos, donde no están definidas.
- Esperar que las tres medias coincidan: solo lo hacen cuando todos los valores de la lista son idénticos.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre la media aritmética y la geométrica?
La media aritmética suma los valores y divide entre la cantidad; la geométrica los multiplica y toma la raíz n-ésima. La aritmética conviene a magnitudes que se combinan por adición, mientras que la geométrica conviene a las que se combinan por multiplicación, como los factores de crecimiento. Para los valores 1, 4 y 16, la media aritmética es 7 y la geométrica es 4.
¿Cuándo debo usar la media armónica?
Úsala para promediar tasas cuando el numerador es fijo; el caso clásico es la velocidad media sobre distancias iguales. Recorrer la misma distancia a 30 km/h y a 60 km/h promedia 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, no 45 km/h, porque se invierte más tiempo a la velocidad menor. La media armónica también aparece al promediar ratios precio-beneficio y al combinar resistencias eléctricas en paralelo.
¿Por qué a veces esta calculadora muestra solo la media aritmética?
La media geométrica y la armónica solo están definidas cuando todos los valores de la lista son positivos. Un cero hace que la geométrica se anule y deja la armónica indefinida (división entre cero), y los valores negativos pueden volver no real la raíz n-ésima del producto. Cuando la lista contiene ceros o valores negativos, solo se informa la media aritmética.
¿Por qué la media geométrica es la adecuada para rentabilidades de inversión?
Las rentabilidades se componen de forma multiplicativa. Si una cartera crece con factores de 1,5 (subida del 50%) y 0,5 (bajada del 50%) en años sucesivos, el factor global es 1,5 x 0,5 = 0,75. La media geométrica de los factores, √0,75, aproximadamente 0,866, es el factor anual constante que produce el mismo resultado: una pérdida media cercana al 13,4% anual, que la media aritmética del 0% pasa completamente por alto.
¿Es la media aritmética siempre la mayor de las tres?
En conjuntos de números positivos, sí: la media aritmética es mayor o igual que la geométrica, y esta a su vez mayor o igual que la armónica. La igualdad solo se da cuando todos los valores son idénticos. Se trata de la desigualdad MA-MG-MH, un resultado clásico del álgebra.
Referencias
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).