Cómo interpretar tu puntuación Z
La tabla siguiente muestra puntuaciones Z seleccionadas y sus percentiles en la normal estándar.
| Puntuación Z | Percentil (proporción por debajo) | Interpretación |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | Dos desviaciones estándar por debajo de la media; inusualmente bajo |
| -1 | 15,87% | Una desviación estándar por debajo de la media |
| 0 | 50% | Exactamente en la media (y en la mediana, si la distribución es normal) |
| +1 | 84,13% | Una desviación estándar por encima de la media |
| +2 | 97,72% | Dos desviaciones estándar por encima de la media; inusualmente alto |
| +3 | 99,87% | Tres desviaciones estándar por encima de la media; raro bajo normalidad |
- Los percentiles suponen que la distribución subyacente es aproximadamente normal. En datos asimétricos o de colas pesadas, la conversión de z a percentil no resulta fiable aunque la propia puntuación Z esté bien definida.
- Según la regla empírica, alrededor del 68% de una distribución normal queda entre z = -1 y +1, cerca del 95% entre -2 y +2, y en torno al 99,7% entre -3 y +3.
- Una puntuación Z no dice nada sobre si un valor es bueno o malo: solo indica a qué distancia se sitúa de la media de su propia distribución.
¿Qué es una puntuación Z?
Una puntuación Z estandariza un valor expresando su distancia a la media en unidades de desviación estándar. Una puntuación Z de 0 significa que el valor coincide con la media; +1 indica una desviación estándar por encima; -2, dos desviaciones estándar por debajo. Estandarizar sitúa mediciones de escalas distintas en un plano común, y por eso las puntuaciones Z se usan para comparar resultados de exámenes, medidas de crecimiento y valores de laboratorio procedentes de distribuciones diferentes.
Cuando la distribución subyacente es normal (con forma de campana), la puntuación Z se traduce directamente en un percentil mediante la función de distribución acumulada (FDA) normal estándar. La FDA da la proporción de la distribución que queda por debajo de un valor de z dado: por ejemplo, alrededor del 84,13% de una distribución normal queda por debajo de z = 1, y cerca del 97,72% por debajo de z = 2. Esta calculadora evalúa la FDA normal estándar con la aproximación de Abramowitz y Stegun (fórmula 7.1.26), con una precisión del orden de 7,5 x 10^-8.
La interpretación en percentiles depende de la normalidad. Las puntuaciones Z pueden calcularse con cualquier conjunto de datos, pero convertirlas en percentiles mediante la FDA normal solo resulta preciso cuando la distribución es aproximadamente normal; en datos asimétricos o de colas pesadas, los percentiles indicados pueden inducir a error.
Cómo usar esta calculadora de puntuación Z
- Introduce el valor (x) que quieres estandarizar; por ejemplo, la calificación individual de un examen.
- Introduce la media de la distribución de la que procede el valor.
- Introduce la desviación estándar de la distribución, que debe ser mayor que cero.
- Lee la puntuación Z, el percentil (proporción de la distribución por debajo del valor, suponiendo normalidad) y la proporción por encima.
La fórmula de la puntuación Z
La puntuación Z es el valor menos la media, dividido entre la desviación estándar: z = (x - media) / de. Un z positivo indica que el valor está por encima de la media; uno negativo, por debajo.
Ejemplo resuelto: x = 130, media = 100, desviación estándar = 15 (la clásica escala de CI). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. El valor se sitúa exactamente dos desviaciones estándar por encima de la media. Según la FDA normal estándar, la proporción por debajo de z = 2 es 0,9772, de modo que el valor cae en el percentil 97,72 y alrededor del 2,28% de la distribución queda por encima.
Los percentiles proceden de la función de distribución acumulada normal estándar: percentil = FDA(z) x 100, y proporción por encima = (1 - FDA(z)) x 100. La FDA carece de expresión cerrada; esta calculadora usa la aproximación 7.1.26 de Abramowitz y Stegun (1964).
Errores frecuentes
- Convertir puntuaciones Z en percentiles con datos claramente no normales: la correspondencia mediante la FDA normal supone una distribución acampanada.
- Confundir la dirección: una puntuación Z negativa significa que el valor está por debajo de la media, no que haya un error ni un resultado imposible.
- Dividir entre la varianza en lugar de la desviación estándar: el denominador de la fórmula de z es la desviación estándar.
- Usar la media y la desviación estándar poblacionales de un grupo para estandarizar un valor de otro grupo distinto, lo que produce una comparación sin sentido.
- Confundir el percentil con la nota porcentual: estar en el percentil 97,7 significa superar a cerca del 97,7% de la distribución, no sacar un 97,7% en el examen.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula una puntuación Z?
Resta la media del valor y divide después entre la desviación estándar: z = (x - media) / de. Por ejemplo, una puntuación de 130 en una escala con media 100 y desviación estándar 15 da z = (130 - 100) / 15 = 2, es decir, la puntuación está dos desviaciones estándar por encima de la media.
¿A qué percentil corresponde una puntuación Z de 2?
En torno al percentil 97,72. La función de distribución acumulada normal estándar evaluada en z = 2 vale 0,9772, lo que significa que el 97,72% de una distribución normal queda por debajo de ese valor y el 2,28% por encima.
¿Qué es una buena puntuación Z?
Las puntuaciones Z son mediciones neutras, no calificaciones: que un z determinado sea deseable depende por completo del contexto. Un z de +2 es excelente en un examen, pero alarmante en la presión arterial. Los valores más allá de aproximadamente -2 o +2 se consideran inusuales por convención, dado que menos del 5% de una distribución normal queda fuera de ese rango.
¿Puede ser negativa una puntuación Z?
Sí. Una puntuación Z negativa simplemente indica que el valor se sitúa por debajo de la media. Por ejemplo, z = -1,5 señala un valor una desviación estándar y media por debajo de la media, aproximadamente en el percentil 6,68 de una distribución normal.
¿Las puntuaciones Z exigen una distribución normal?
La puntuación Z en sí — la distancia a la media en unidades de desviación estándar — está definida para cualquier distribución. Sin embargo, convertirla en percentil mediante la FDA normal estándar, como hace esta calculadora, solo resulta preciso cuando la distribución es aproximadamente normal. En datos asimétricos, los percentiles deben calcularse directamente sobre los datos.
¿Qué precisión tiene el percentil mostrado?
La FDA normal estándar carece de expresión cerrada exacta, así que esta calculadora usa la aproximación racional 7.1.26 de Abramowitz y Stegun (1964), cuyo error absoluto queda por debajo de 7,5 x 10^-8, mucho más preciso que los dos decimales mostrados.
Referencias
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).