Cómo interpretar tu resultado de la distribución normal
La tabla recoge la probabilidad acumulada normal estándar Φ(z) en puntuaciones z enteras, tal como aparece en las tablas clásicas de la normal estándar.
| Puntuación z | Φ(z) — probabilidad acumulada por debajo de z |
|---|---|
| −3 | 0,13 % |
| −2 | 2,28 % |
| −1 | 15,87 % |
| 0 | 50,00 % |
| +1 | 84,13 % |
| +2 | 97,72 % |
| +3 | 99,87 % |
- Regla empírica: alrededor del 68,27 % de una distribución normal queda dentro de ±1 desviación típica respecto de la media, cerca del 95,45 % dentro de ±2 y aproximadamente el 99,73 % dentro de ±3.
- En el modo «entre», el límite superior b debe ser mayor o igual que x; si b es menor, la calculadora no devuelve resultado.
- Al ser continua la distribución normal, la probabilidad de cualquier valor exacto es 0: solo los intervalos (por debajo, por encima, entre) tienen probabilidad distinta de cero.
- Estos cálculos presuponen que la variable sigue realmente una distribución normal. Datos asimétricos, acotados o con colas pesadas pueden apartarse mucho de estas probabilidades, aunque la puntuación z siga siendo calculable.
¿Qué es la distribución normal?
La distribución normal, también llamada gaussiana, es una distribución de probabilidad continua, simétrica y con forma de campana que queda completamente descrita por dos parámetros: la media (μ), que fija el centro, y la desviación típica (σ), que fija la dispersión. Muchas magnitudes naturales y medidas — estaturas, errores de medición, puntuaciones de pruebas estandarizadas — se aproximan a la normalidad, y de ahí que esta distribución ocupe un lugar central en la teoría y la práctica estadísticas.
Dado que una distribución continua asigna probabilidad a intervalos y no a puntos concretos, esta calculadora responde a preguntas del tipo «qué proporción de valores queda por debajo de x», «por encima de x» o «entre x y b». Nunca responde a «cuál es la probabilidad de obtener exactamente x», que en una distribución continua siempre vale 0.
Toda distribución normal puede transformarse en la normal estándar (media 0, desviación típica 1) calculando una puntuación z: z = (x − μ) / σ. La probabilidad asociada a un intervalo de valores de x se lee entonces en la función de distribución acumulada normal estándar, escrita habitualmente como Φ(z), que indica la proporción de la distribución situada en z o por debajo.
La regla empírica, conocida también como regla 68-95-99,7, resume la dispersión de la distribución normal: en torno al 68,27 % de los valores cae dentro de una desviación típica respecto de la media, alrededor del 95,45 % dentro de dos y aproximadamente el 99,73 % dentro de tres.
Cómo usar esta calculadora de distribución normal
- Introduce la media (μ) y la desviación típica (σ) de la distribución. La desviación típica debe ser mayor que cero.
- Elige el modo de cálculo: por debajo de un valor, por encima de un valor o entre dos valores.
- Introduce el valor x. En el modo «entre», añade también el límite superior b, que debe ser mayor o igual que x.
- Consulta la probabilidad, expresada como porcentaje y como proporción de 0 a 1, junto con la puntuación z correspondiente a x.
La fórmula detrás de la probabilidad normal
Todo cálculo arranca estandarizando x en una puntuación z: z = (x − μ) / σ. La probabilidad se obtiene después de la función de distribución acumulada normal estándar, Φ(z), que carece de expresión cerrada sencilla y se evalúa numéricamente.
Modo «por debajo»: P(X < x) = Φ(z). Modo «por encima»: P(X > x) = 1 − Φ(z). Modo «entre»: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), donde zᵦ es la puntuación z del límite superior b.
Ejemplo resuelto (modo «por debajo»): media = 100, desviación típica = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. Consultando Φ(1,3333) en la normal estándar se obtiene aproximadamente 0,9088, de modo que P(X < 120) ≈ 90,88 %.
Ejemplo resuelto (modo «entre», normal estándar): media = 0, desviación típica = 1, entre −1 y +1. La z inferior vale −1 y la superior +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, así que P(−1 < X < 1) ≈ 68,27 %, el primer tramo de la regla empírica.
Errores frecuentes
- Elegir el modo equivocado: «por debajo», «por encima» y «entre» arrojan probabilidades distintas para la misma x, y confundirlos es una fuente habitual de error.
- Introducir en el modo «entre» un límite superior b menor que x, lo que no constituye un intervalo válido para esta calculadora.
- Dar sentido a la probabilidad de un valor exacto: en una distribución continua como la normal, P(X = x) siempre vale 0.
- Dar por supuesta la normalidad de los datos sin comprobarla; las probabilidades que se muestran aquí solo son fiables si la variable subyacente se aproxima a una distribución normal.
- Confundir la desviación típica con la varianza: esta calculadora pide la desviación típica (σ), no su cuadrado.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula una probabilidad en la distribución normal?
Convierte el valor en una puntuación z con z = (x − media) / desviación típica y consulta después la probabilidad acumulada correspondiente en la normal estándar. Para un valor por debajo de x se usa Φ(z) directamente; para uno por encima, 1 − Φ(z); y para un intervalo entre x y b se restan las dos probabilidades acumuladas.
¿Qué es la regla empírica?
La regla empírica, o regla 68-95-99,7, establece que en una distribución normal alrededor del 68,27 % de los valores cae dentro de una desviación típica respecto de la media, cerca del 95,45 % dentro de dos y aproximadamente el 99,73 % dentro de tres.
¿Qué es una puntuación z?
La puntuación z indica a cuántas desviaciones típicas de la media se sitúa un valor, y se obtiene como z = (x − media) / desviación típica. Es el paso intermedio que emplea esta calculadora para consultar una probabilidad en la distribución normal estándar.
¿Por qué la probabilidad de un valor exacto siempre es 0?
La distribución normal es continua, de modo que la probabilidad solo está definida sobre intervalos, nunca sobre puntos aislados. Pedir P(X = 120) exactamente da 0 desde el punto de vista matemático; las preguntas con sentido son P(X < 120), P(X > 120) o P(a < X < b).
¿Sirve esta calculadora para cualquier conjunto de datos?
Solo si la variable subyacente se aproxima a una distribución normal. Muchas variables reales lo hacen, pero los datos asimétricos, acotados (como recuentos o proporciones) o con colas pesadas pueden dar probabilidades engañosas si se fuerzan dentro de este marco.
¿Qué diferencia hay entre los modos «por debajo» y «entre»?
El modo «por debajo» informa de la probabilidad acumulada hasta un único valor x, P(X < x). El modo «entre» informa de la probabilidad de caer dentro de un intervalo, P(x < X < b), que resulta de restar dos probabilidades acumuladas y exige, por lo tanto, tanto el valor inferior x como el límite superior b.
Referencias
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).