Cómo interpretar tu resultado de la distribución binomial
La tabla siguiente resume cómo se define cada modo de cálculo y en qué situaciones conviene elegirlo.
| Modo | Pregunta que responde | Fórmula |
|---|---|---|
| Exactamente k | ¿Qué probabilidad hay de obtener exactamente k éxitos? | P(X = k) |
| Como máximo k | ¿Qué probabilidad hay de obtener k éxitos o menos? | P(X ≤ k) |
| Al menos k | ¿Qué probabilidad hay de obtener k éxitos o más? | P(X ≥ k) |
- Una regla práctica muy citada en los manuales de estadística sostiene que la distribución binomial puede aproximarse razonablemente mediante una distribución normal cuando tanto n × p como n × (1 − p) valen al menos 5; la corrección por continuidad mejora todavía más esa aproximación.
- El modelo binomial exige ensayos independientes con probabilidad de éxito constante; muestrear sin reemplazamiento de una población finita y pequeña rompe la independencia y obliga a recurrir a la distribución hipergeométrica.
- k debe ser un número entero comprendido entre 0 y n, ambos incluidos: los valores no enteros o fuera de ese rango no son resultados binomiales válidos.
- «Como máximo k» y «al menos k + 1» son sucesos complementarios y suman el 100 %; del mismo modo, «como máximo k − 1» y «al menos k» también suman el 100 %.
¿Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial modeliza el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos independientes (n), cada uno con la misma probabilidad de éxito (p) y con solo dos resultados posibles: éxito o fracaso. Son ejemplos clásicos el número de caras en una serie fija de lanzamientos de moneda o el número de piezas defectuosas en una muestra fija tomada de una línea de producción, siempre que la probabilidad de éxito se mantenga constante en todos los ensayos.
Se trata de una distribución discreta: el número de éxitos k solo puede tomar valores enteros de 0 a n. Su forma depende de n y de p a la vez — resulta simétrica cuando p = 0,5 y se vuelve cada vez más asimétrica a medida que p se acerca a 0 o a 1.
Los dos supuestos que la definen son la independencia (el resultado de un ensayo no influye en los demás) y una probabilidad de éxito constante a lo largo de todos ellos. Cuando se extraen los ensayos sin reemplazamiento de una población finita y pequeña, estos supuestos dejan de cumplirse y resulta más apropiada la distribución hipergeométrica.
Cómo usar esta calculadora de distribución binomial
- Introduce el número de ensayos, n.
- Introduce la probabilidad de éxito por ensayo, p, expresada como porcentaje.
- Introduce el número de éxitos, k, un número entero comprendido entre 0 y n.
- Elige el modo — exactamente k éxitos, como máximo k o al menos k — y consulta la probabilidad resultante junto con el valor esperado y la desviación típica de la distribución.
La fórmula detrás de la probabilidad binomial
La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos viene dada por la función de masa de probabilidad binomial: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, donde C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) es el número de formas de elegir k éxitos entre n ensayos.
El modo «como máximo k» suma esa probabilidad para todos los resultados de 0 a k; el modo «al menos k» la suma de k a n o, lo que es equivalente, resta a 1 la probabilidad de como máximo k − 1.
El valor esperado de la distribución, es decir, el número medio de éxitos, es n × p, y su desviación típica es √(n × p × (1 − p)).
Ejemplo resuelto: n = 20 ensayos, p = 50 %, exactamente k = 8 éxitos. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ 12,01 %. El valor esperado es 20 × 0,5 = 10 y la desviación típica es √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361.
Errores frecuentes
- Aplicar la distribución binomial a ensayos que no son independientes o cuya probabilidad de éxito varía de uno a otro, como ocurre al extraer sin reemplazamiento de una población pequeña.
- Cometer errores de una unidad entre modos: «al menos 4» no es el complementario de «como máximo 4»; el complementario de «como máximo 4» es «al menos 5».
- Introducir la probabilidad de éxito como decimal (0,5) cuando el campo espera un porcentaje (50).
- Emplear la distribución binomial con un resultado continuo o con un recuento que admite más de dos desenlaces por ensayo, caso que exige un modelo multinomial.
- Olvidar que la distribución binomial da por supuesto que p se mantiene constante en los n ensayos: una probabilidad que va cambiando con el tiempo invalida el modelo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula una probabilidad binomial?
Se aplica P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, donde n es el número de ensayos, p la probabilidad de éxito y C(n, k) cuenta las formas de repartir k éxitos entre n ensayos. Para «como máximo» o «al menos», se suma esa fórmula a lo largo del rango de valores de k que corresponda.
¿Qué condiciones hay que cumplir para usar la distribución binomial?
El número de ensayos (n) debe ser fijo, cada ensayo debe tener solo dos resultados posibles (éxito o fracaso), la probabilidad de éxito (p) debe permanecer constante en todos ellos y los ensayos deben ser independientes entre sí.
¿Cuál es el número esperado de éxitos?
El valor esperado, o media, de una distribución binomial es n × p. Por ejemplo, con 20 ensayos y una probabilidad de éxito del 50 %, el número esperado de éxitos es 20 × 0,5 = 10.
¿Qué diferencia hay entre «exactamente», «como máximo» y «al menos»?
«Exactamente k» es la probabilidad de obtener justo k éxitos. «Como máximo k» suma las probabilidades de 0 a k éxitos. «Al menos k» suma las de k a n éxitos y equivale a 1 menos la probabilidad de como máximo k − 1.
¿Cuándo puede una distribución normal aproximar a una binomial?
Una regla práctica habitual indica que la aproximación resulta razonable cuando tanto n × p como n × (1 − p) valen al menos 5. Fuera de ese rango, en especial con n pequeño o con p alejada de 0,5, el cálculo binomial exacto es más fiable.
Referencias
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).