أي متوسط ينبغي أن تستخدم؟
يجيب كل متوسط عن سؤال مختلف. ويلخّص الجدول التالي الحالات التي يكون فيها كل متوسط هو التلخيص المناسب.
| المتوسط | يُستخدم حين تتجمع القيم بـ | التطبيقات المعتادة |
|---|---|---|
| الحسابي | الإضافة | درجات الاختبارات، والأطوال، ودرجات الحرارة، والمعدلات العامة |
| الهندسي | الضرب | معدلات النمو، وعوائد الاستثمار، والنسب، والأرقام القياسية |
| التوافقي | المقلوبات (المعدلات) | متوسط السرعة على مسافات متساوية، ونسب السعر إلى الأرباح، والمقاومات على التوازي |
- لا يُعرَّف المتوسطان الهندسي والتوافقي إلا للقيم الموجبة بالكامل. ولذلك تحذفهما هذه الحاسبة حين تحتوي القائمة على أصفار أو أرقام سالبة.
- في أي مجموعة بيانات موجبة بالكامل يكون المتوسط الحسابي >= المتوسط الهندسي >= المتوسط التوافقي، ولا تتحقق المساواة إلا إذا تساوت جميع القيم (متباينة AM-GM-HM).
- حساب متوسط معدلات النمو المئوية بالمتوسط الحسابي يبالغ في تقدير النمو التراكمي؛ أما المتوسط الهندسي لعوامل النمو فيعطي المعدل الثابت المكافئ الصحيح.
ما المتوسط الحسابي والهندسي والتوافقي؟
المتوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها. وهو المتوسط المناسب للكميات التي تتجمع بالإضافة، مثل الأطوال ودرجات الاختبارات ودرجات الحرارة، وهو ما يقصده معظم الناس حين يقولون «المعدّل».
المتوسط الهندسي هو الجذر النوني لحاصل ضرب n من القيم الموجبة. وهو المتوسط المناسب للكميات التي تتجمع بالضرب، مثل معدلات النمو والنسب: فالمتوسط الهندسي لعوامل النمو السنوية يعطي المعدل الثابت الذي يؤدي إلى النمو الإجمالي نفسه. ولا يكون معرّفاً إلا لبيانات موجبة بالكامل، لأن وجود صفر واحد يجعل حاصل الضرب صفراً، كما أن القيم السالبة قد تجعل الجذر غير حقيقي.
المتوسط التوافقي هو عدد القيم مقسوماً على مجموع مقلوباتها. وهو المتوسط المناسب للمعدلات ذات البسط الثابت، وأشهر حالاته متوسط السرعة على مسافات متساوية. وهو يشترط، كالمتوسط الهندسي، أن تكون جميع القيم موجبة. وفي أي مجموعة بيانات موجبة بالكامل تخضع المتوسطات الثلاثة للمتباينة التالية: الحسابي >= الهندسي >= التوافقي، ولا تتحقق المساواة إلا إذا كانت القيم كلها متطابقة.
كيفية استخدام حاسبة المتوسط
- أدخل أرقامك مفصولة بفاصلة منقوطة، مثل: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- اقرأ المتوسط الحسابي، وهو يُعرض دائماً.
- إذا كانت جميع القيم موجبة فاقرأ كذلك المتوسطين الهندسي والتوافقي؛ فهما غير معرّفين حين تحتوي القائمة على صفر أو على قيم سالبة، ولذلك يُحذفان في تلك الحالة.
- اختر المتوسط الذي يناسب مسألتك: الحسابي للكميات التجميعية، والهندسي لمعدلات النمو والنسب، والتوافقي للمعدلات مثل السرعات على مسافات متساوية.
صيغ المتوسطات الثلاثة
المتوسط الحسابي: اجمع القيم البالغ عددها n ثم اقسم على n. المتوسط الهندسي: اضرب القيم البالغ عددها n ثم خذ الجذر النوني (ويُحسب عملياً بأخذ الدالة الأسية لمتوسط اللوغاريتمات). المتوسط التوافقي: اقسم n على مجموع المقلوبات.
مثال محلول على القيم 1، 4، 16. الحسابي: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. الهندسي: حاصل الضرب هو 1 x 4 x 16 = 64، والجذر التكعيبي للعدد 64 يساوي 4. التوافقي: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21، أي نحو 2.285714. ولاحظ أن 7 >= 4 >= 2.285714، وهو ما يوضح متباينة المتوسط الحسابي والهندسي والتوافقي.
مثال على السرعة يوضح المتوسط التوافقي: إذا قطعت المسافة نفسها بسرعة 30 km/h ثم بسرعة 60 km/h، فإن متوسط السرعة هو 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h، وليس المتوسط الحسابي البالغ 45 km/h، لأن الوقت المستغرق عند السرعة الأبطأ أطول.
أخطاء شائعة
- استخدام المتوسط الحسابي لمعدلات النمو: فسنة تحقق +50% تليها سنة تحقق -50% يكون متوسطها الحسابي 0%، ومع ذلك يكون الاستثمار قد خسر 25% إجمالاً؛ والمتوسط الهندسي للعاملين 1.5 و0.5 (نحو 0.866) هو الذي يعكس التغير المتوسط الحقيقي.
- حساب متوسط السرعات على مسافات متساوية بالمتوسط الحسابي — فالمراحل المتساوية المسافة تستدعي المتوسط التوافقي.
- تطبيق المتوسط الهندسي أو التوافقي على بيانات تحتوي على أصفار أو قيم سالبة، وهي حالات لا يكونان فيها معرّفين.
- توقّع تطابق المتوسطات الثلاثة — فهي لا تتساوى إلا إذا كانت كل قيمة في القائمة مطابقة لغيرها.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي؟
المتوسط الحسابي يجمع القيم ويقسمها على عددها، أما المتوسط الهندسي فيضرب القيم ويأخذ الجذر النوني. ويناسب المتوسط الحسابي الكميات التي تتجمع بالإضافة، بينما يناسب المتوسط الهندسي الكميات التي تتجمع بالضرب، مثل عوامل النمو. وللقيم 1 و4 و16 يكون المتوسط الحسابي 7 والمتوسط الهندسي 4.
متى ينبغي أن أستخدم المتوسط التوافقي؟
استخدم المتوسط التوافقي لحساب متوسط المعدلات حين يكون البسط ثابتاً — وأشهر الحالات متوسط السرعة على مسافات متساوية. فقطع المسافة نفسها بسرعة 30 km/h ثم 60 km/h يعطي متوسطاً قدره 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h، وليس 45 km/h، لأن الوقت المستغرق عند السرعة الأبطأ أطول. ويظهر المتوسط التوافقي أيضاً في حساب متوسط نسب السعر إلى الأرباح وفي جمع المقاومات الكهربائية على التوازي.
لماذا تعرض هذه الحاسبة أحياناً المتوسط الحسابي وحده؟
لا يُعرَّف المتوسطان الهندسي والتوافقي إلا حين تكون جميع القيم في القائمة موجبة. فوجود صفر يجعل المتوسط الهندسي يؤول إلى صفر ويجعل المتوسط التوافقي غير معرّف (قسمة على صفر)، كما أن القيم السالبة قد تجعل الجذر النوني لحاصل الضرب غير حقيقي. ولذلك، حين تحتوي القائمة على صفر أو على قيم سالبة، لا يُعرض سوى المتوسط الحسابي.
لماذا يُعدّ المتوسط الهندسي الأنسب لعوائد الاستثمار؟
لأن عوائد الاستثمار تتراكم بالضرب. فإذا نمت محفظة بعاملين هما 1.5 (ارتفاع 50%) ثم 0.5 (انخفاض 50%) في سنتين متتاليتين، يكون العامل الإجمالي 1.5 x 0.5 = 0.75. والمتوسط الهندسي للعاملين، أي sqrt(0.75) ونحو 0.866، هو العامل السنوي الثابت الذي يعطي النتيجة نفسها — أي خسارة متوسطة تناهز 13.4% سنوياً، وهو ما يغفله المتوسط الحسابي البالغ 0% إغفالاً تاماً.
هل يكون المتوسط الحسابي دائماً الأكبر بين المتوسطات الثلاثة؟
نعم بالنسبة لمجموعات البيانات المكوّنة من أعداد موجبة: فالمتوسط الحسابي أكبر من أو يساوي المتوسط الهندسي، وهذا الأخير أكبر من أو يساوي المتوسط التوافقي. ولا تتحقق المساواة إلا إذا كانت جميع القيم متطابقة. وهذه هي متباينة AM-GM-HM، وهي نتيجة معيارية في الجبر الكلاسيكي.
المراجع
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).