فهم المتوسط الخاص بك
المتوسط واحد من عدة مقاييس للنزعة المركزية. ويقارن الجدول التالي بينها باستخدام بيانات المثال 12، 15، 18، 22، 9.
| المقياس | القيمة للبيانات 12, 15, 18, 22, 9 | ملاحظات |
|---|---|---|
| Mean (average) | 15.2 | المجموع ÷ العدد؛ يستخدم كل قيمة؛ حساس للقيم الشاذة |
| Median | 15 | القيمة الوسطى للقائمة المرتبة 9, 12, 15, 18, 22 |
| Minimum | 9 | أصغر قيمة |
| Maximum | 22 | أكبر قيمة |
| Range | 13 | الكبرى ناقص الصغرى؛ مقياس بسيط للتشتت |
- المتوسط حساس للقيم المتطرفة: فقد يحرّكه عدد واحد كبير جدًا أو صغير جدًا حركة ملحوظة. قارن المتوسط بالوسيط لاكتشاف الالتواء.
- يقدّر متوسط العينة متوسط المجتمع الذي سُحبت منه، لكن تباين المعاينة يجعلهما مختلفين عادةً؛ راجع حاسبة فترة الثقة.
- لا يصح حساب متوسط النسب المئوية أو المعدلات إلا إذا كانت لها القاعدة نفسها؛ وإلا فالمطلوب متوسط مرجّح.
ما هو المتوسط؟
المتوسط — أو المتوسط الحسابي رسميًا — هو أكثر مقاييس النزعة المركزية استخدامًا في وصف مركز مجموعة البيانات. ويُحسب بجمع جميع القيم وقسمة الناتج على عددها. والمتوسط يوازن البيانات: إذ تلغي انحرافات القيم الواقعة فوقه انحرافات القيم الواقعة تحته تمامًا.
يستخدم المتوسط الحسابي كل قيمة في مجموعة البيانات، ما يجعله فعالًا لكنه في الوقت نفسه حساس للقيم الشاذة. فقد تسحبه قيمة متطرفة واحدة بعيدًا عن معظم البيانات — فإضافة القيمة 100 إلى القائمة 12، 15، 18، 22، 9 ترفع المتوسط من 15.2 إلى نحو 29.3. وفي البيانات الملتوية مثل الدخول أو أسعار المساكن، كثيرًا ما يُذكر الوسيط إلى جانب المتوسط أو بدلًا منه.
تُستخدم كلمة «متوسط» أحيانًا بمعنى فضفاض للدلالة على مقاييس مركزية أخرى، منها الوسيط (القيمة الوسطى) والمنوال (القيمة الأكثر تكرارًا). أما في مراجع الإحصاء وفي هذه الحاسبة فالمتوسط يعني المتوسط الحسابي ما لم يُذكر خلاف ذلك.
كيفية استخدام حاسبة المتوسط
- أدخل أعدادك مفصولة بفاصلة منقوطة، مثل: 12; 15; 18; 22; 9. والقيم العشرية والأعداد السالبة مقبولة.
- اقرأ المتوسط (المتوسط الحسابي)، وهو المجموع مقسومًا على العدد.
- راجع الإحصاءات المساندة — المجموع والعدد والقيمة الصغرى والقيمة الكبرى — للتأكد من أن الحاسبة قرأت قائمتك كما أردت.
- للتحقق يدويًا، اجمع جميع القيم واقسم الناتج على عدد القيم التي أدخلتها.
صيغة المتوسط
المتوسط الحسابي لعدد n من القيم x1، x2، ...، xn هو مجموعها مقسومًا على n.
مثال محلول: القيم 12، 15، 18، 22، 9. الخطوة 1 — اجمعها: 12 + 15 + 18 + 22 + 9 = 76. الخطوة 2 — عُدّها: n = 5. الخطوة 3 — اقسم: 76 / 5 = 15.2. إذن المتوسط هو 15.2.
يقع المتوسط دائمًا بين القيمة الصغرى والقيمة الكبرى للبيانات. وهو يساوي القيمة التي كانت ستأخذها كل مشاهدة لو وُزّع المجموع بالتساوي — فتوزيع 76 بالتساوي على 5 يعطي كلًّا منها 15.2.
أخطاء شائعة
- حساب متوسط المتوسطات دون ترجيح: فمتوسط متوسطَي مجموعتين لا يساوي المتوسط الإجمالي إلا إذا تساوى حجم المجموعتين.
- استخدام المتوسط مع بيانات شديدة الالتواء (الدخول، أسعار المساكن) تهيمن عليها بضع قيم كبيرة — فالوسيط عادةً أكثر تمثيلًا.
- إغفال قيمة عند حساب n — إذ يجب أن يكون المقسوم عليه مساويًا تمامًا لعدد القيم التي جُمعت.
- حساب متوسط معدلات مثل السرعات على مسافات متساوية بالمتوسط الحسابي — فهذه الحالة تستدعي المتوسط التوافقي (راجع حاسبة المتوسطات).
الأسئلة الشائعة
كيف أحسب المتوسط؟
اجمع جميع الأعداد، ثم اقسم الناتج على عددها. فمثلًا، للأعداد 12 و15 و18 و22 و9: المجموع 76 وعدد الأعداد 5، ومن ثم يكون المتوسط 76 / 5 = 15.2.
ما الفرق بين المتوسط والمتوسط الحسابي والوسيط؟
في الاستعمال اليومي تعني كلمة «المتوسط» عادةً المتوسط الحسابي: أي المجموع مقسومًا على العدد. أما الوسيط فهو القيمة الوسطى في البيانات المرتبة، والمنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. وجميعها مقاييس للنزعة المركزية، لكنها قد تتباين تباينًا كبيرًا عندما تكون البيانات ملتوية أو تحتوي على قيم شاذة.
متى يكون المتوسط مضللًا؟
عندما تكون البيانات ملتوية أو تحتوي على قيم شاذة. فلأن المتوسط الحسابي يستخدم كل قيمة، قد تزيحه مشاهدة متطرفة واحدة بعيدًا عن المكان الذي تتركز فيه معظم البيانات. فمثلًا يُسحب متوسط دخل مجموعة إلى الأعلى بسبب فرد واحد مرتفع الدخل، بينما لا يتأثر الوسيط. وذكر المتوسط والوسيط معًا يعطي صورة أوفى.
هل يمكن أن يكون المتوسط عددًا غير موجود في القائمة؟
نعم، بل هذا هو الغالب. فمتوسط الأعداد 12 و15 و18 و22 و9 هو 15.2، وهو لا يظهر في القائمة. فالمتوسط نقطة توازن للبيانات وليس بالضرورة قيمة مرصودة — ومتوسط عدد الأطفال لكل أسرة البالغ 1.9 مثال كلاسيكي على ذلك.
كيف تؤثر القيم الشاذة في المتوسط؟
تسهم كل قيمة إسهامًا متساويًا في المجموع، ولذلك تجذب القيمة البعيدة عن بقية القيم المتوسطَ نحوها. فإضافة 100 إلى القائمة 12، 15، 18، 22، 9 تغيّر المتوسط من 15.2 إلى (76 + 100) / 6 = 29.33 (بالتقريب). أما الوسيط فيتحرك أقل بكثير، ولهذا يُفضَّل مع البيانات المعرَّضة للقيم الشاذة.
المراجع
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standard coverage of the arithmetic mean).
- Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.