فهم نتيجة التوزيع الطبيعي
يسرد الجدول أدناه الاحتمال التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري Φ(z) عند درجات معيارية صحيحة، بما يتوافق مع جداول التوزيع الطبيعي المعياري المعتمدة.
| الدرجة المعيارية z | Φ(z) — الاحتمال التراكمي دون z |
|---|---|
| −3 | 0.13% |
| −2 | 2.28% |
| −1 | 15.87% |
| 0 | 50.00% |
| +1 | 84.13% |
| +2 | 97.72% |
| +3 | 99.87% |
- القاعدة التجريبية: نحو 68.27% من التوزيع الطبيعي يقع ضمن ±1 انحراف معياري من المتوسط، ونحو 95.45% ضمن ±2 انحراف معياري، ونحو 99.73% ضمن ±3 انحرافات معيارية.
- في وضع "بين"، يجب أن يكون الحد الأعلى b أكبر من x أو مساويًا له؛ ولا تعيد الحاسبة أي نتيجة إذا كان b أصغر من x.
- لأنّ التوزيع الطبيعي متصل، فإنّ احتمال أي قيمة مفردة بالضبط يساوي 0 — فالمجالات وحدها (أقل من، أكبر من، بين) لها احتمال غير صفري.
- تفترض هذه الحسابات أنّ المتغيّرة موزّعة توزيعًا طبيعيًا فعلًا. أمّا البيانات الملتوية أو المحدودة أو ذات الذيول الثقيلة فقد تبتعد ابتعادًا كبيرًا عن هذه الاحتمالات حتى لو أمكن حساب درجة معيارية z لها.
ما هو التوزيع الطبيعي؟
التوزيع الطبيعي (التوزيع الغاوسي) توزيع احتمالي متصل ومتماثل على شكل جرس، يوصَف وصفًا كاملًا ببارامترين: متوسطه (μ) الذي يحدّد المركز، وانحرافه المعياري (σ) الذي يحدّد التشتّت. وكثير من الكميات الطبيعية والمقيسة — الأطوال، وأخطاء القياس، ودرجات الاختبارات المعيارية — تقارب التوزيع الطبيعي، ولهذا يحتل هذا التوزيع موقعًا مركزيًا في النظرية والتطبيق الإحصائيين.
بما أنّ التوزيع المتصل يسند الاحتمال إلى مجالات لا إلى نقاط مفردة، تجيب هذه الحاسبة عن أسئلة من صيغة "ما نسبة القيم الواقعة دون x" أو "فوق x" أو "بين x وb" — لا عن سؤال "ما احتمال أن تساوي القيمة x بالضبط"، وهو احتمال يساوي 0 دائمًا في التوزيع المتصل.
يمكن تحويل أي توزيع طبيعي إلى التوزيع الطبيعي المعياري (متوسطه 0 وانحرافه المعياري 1) بحساب درجة معيارية z وفق z = (x − μ) / σ. ويُقرأ عندئذٍ الاحتمال المرتبط بمجال من قيم x من دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري (CDF)، التي تُكتب غالبًا Φ(z)، وتعطي نسبة التوزيع الواقعة عند z أو دونها.
تلخّص القاعدة التجريبية (المعروفة أيضًا بقاعدة 68-95-99.7) تشتّت التوزيع الطبيعي المعياري: نحو 68.27% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95.45% تقع ضمن انحرافين معياريين، ونحو 99.73% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية.
كيفية استخدام حاسبة التوزيع الطبيعي هذه
- أدخل المتوسط (μ) والانحراف المعياري (σ) للتوزيع. ويجب أن يكون الانحراف المعياري أكبر من الصفر.
- اختر وضع الحساب: أقل من قيمة، أو أكبر من قيمة، أو بين قيمتين.
- أدخل القيمة x. وفي وضع "بين قيمتين" أدخل أيضًا الحد الأعلى b، الذي يجب أن يكون أكبر من x أو مساويًا له.
- اقرأ الاحتمال (كنسبة مئوية وكنسبة بين 0 و1)، إلى جانب الدرجة المعيارية z المقابلة للقيمة x.
المعادلة وراء احتمال التوزيع الطبيعي
يبدأ كل حساب بتقييس x إلى درجة معيارية z: z = (x − μ) / σ. ثم يُقرأ الاحتمال من دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري Φ(z)، التي ليس لها تعبير مغلق بسيط وتُقيَّم عدديًا.
وضع "أقل من": P(X < x) = Φ(z). ووضع "أكبر من": P(X > x) = 1 − Φ(z). ووضع "بين": P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ)، حيث zᵦ هي الدرجة المعيارية للحد الأعلى b.
مثال محلول (وضع "أقل من"): المتوسط = 100، والانحراف المعياري = 15، وx = 120. إذن z = (120 − 100) / 15 = 1.3333. والبحث عن Φ(1.3333) في التوزيع الطبيعي المعياري يعطي نحو 0.9088، أي إنّ P(X < 120) ≈ 90.88%.
مثال محلول (وضع "بين"، التوزيع الطبيعي المعياري): المتوسط = 0، والانحراف المعياري = 1، بين −1 و+1. الدرجة المعيارية السفلى = −1، والعليا = +1. ومنه Φ(1) − Φ(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6827، أي إنّ P(−1 < X < 1) ≈ 68.27% — وهي الخطوة الأولى من القاعدة التجريبية.
أخطاء شائعة
- اختيار الوضع الخاطئ — فأوضاع "أقل من" و"أكبر من" و"بين" تعطي احتمالات مختلفة للقيمة x نفسها، والخلط بينها مصدر شائع للخطأ.
- إدخال حد أعلى b أصغر من x في وضع "بين"، وهو ليس مجالًا صالحًا لهذه الحاسبة.
- التعامل مع احتمال قيمة مفردة بالضبط على أنه ذو معنى — ففي توزيع متصل كالتوزيع الطبيعي تكون P(X = x) صفرًا دائمًا.
- افتراض أنّ مجموعة البيانات طبيعية دون التحقق من ذلك — فالاحتمالات المعطاة هنا دقيقة فقط عندما تكون المتغيّرة الأساسية موزّعة توزيعًا طبيعيًا تقريبًا.
- الخلط بين الانحراف المعياري والتباين — فهذه الحاسبة تطلب الانحراف المعياري (σ)، لا مربّعه.
الأسئلة الشائعة
كيف أحسب احتمالًا في التوزيع الطبيعي؟
حوّل القيمة إلى درجة معيارية باستخدام z = (x − المتوسط) / الانحراف المعياري، ثم ابحث عن الاحتمال التراكمي المقابل في التوزيع الطبيعي المعياري. فللقيم الأقل من x استخدم Φ(z) مباشرةً؛ وللقيم الأكبر من x استخدم 1 − Φ(z)؛ وللمجال بين x وb اطرح الاحتمالين التراكميين أحدهما من الآخر.
ما هي القاعدة التجريبية؟
تنص القاعدة التجريبية (قاعدة 68-95-99.7) على أنّ نحو 68.27% من قيم التوزيع الطبيعي تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95.45% تقع ضمن انحرافين معياريين، ونحو 99.73% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية.
ما هي الدرجة المعيارية z؟
تعبّر الدرجة المعيارية z عن عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها قيمة ما عن المتوسط، وتُحسب بالعلاقة z = (x − المتوسط) / الانحراف المعياري. وهي الخطوة الوسيطة التي تستخدمها هذه الحاسبة للبحث عن الاحتمال في التوزيع الطبيعي المعياري.
لماذا يساوي احتمال قيمة مفردة بالضبط صفرًا دائمًا؟
التوزيع الطبيعي متصل، لذا يُعرَّف الاحتمال على المجالات فقط لا على النقاط المفردة. فطلب P(X = 120) بالضبط يساوي رياضيًا 0؛ والأسئلة ذات المعنى هي P(X < 120) أو P(X > 120) أو P(a < X < b).
هل تصلح هذه الحاسبة لأي مجموعة بيانات؟
فقط إذا كانت المتغيّرة الأساسية موزّعة توزيعًا طبيعيًا تقريبًا. فكثير من المتغيّرات الواقعية تقارب التوزيع الطبيعي، لكنّ البيانات الملتوية أو المحدودة (كالأعداد أو النسب) أو ذات الذيول الثقيلة قد تعطي احتمالات مضلّلة إذا أُقحمت في هذا الإطار.
ما الفرق بين وضع "أقل من" ووضع "بين"؟
يعطي وضع "أقل من" الاحتمال التراكمي حتى قيمة مفردة x، أي P(X < x). أمّا وضع "بين" فيعطي احتمال الوقوع ضمن مجال، أي P(x < X < b)، وهو الفرق بين احتمالين تراكميين ويتطلّب قيمة سفلى x وحدًّا أعلى b معًا.
المراجع
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).