كيف تفسّر درجتك المعيارية
يعرض الجدول أدناه درجات z مختارة وما يقابلها من مئينات في التوزيع الطبيعي المعياري.
| الدرجة z | المئين (نسبة ما دونها) | التفسير |
|---|---|---|
| -2 | 2.28% | انحرافان معياريان تحت المتوسط؛ منخفضة على نحو غير معتاد |
| -1 | 15.87% | انحراف معياري واحد تحت المتوسط |
| 0 | 50% | عند المتوسط تماماً (وعند الوسيط أيضاً في التوزيع الطبيعي) |
| +1 | 84.13% | انحراف معياري واحد فوق المتوسط |
| +2 | 97.72% | انحرافان معياريان فوق المتوسط؛ مرتفعة على نحو غير معتاد |
| +3 | 99.87% | ثلاثة انحرافات معيارية فوق المتوسط؛ نادرة في ظل الاعتدال |
- تفترض المئينات أن التوزيع الأصلي قريب من الطبيعي. ومع البيانات الملتوية أو ثقيلة الأذيال يصبح تحويل z إلى مئين غير موثوق، حتى وإن ظلت الدرجة z نفسها معرَّفة تعريفاً سليماً.
- وفق القاعدة التجريبية، يقع نحو 68% من التوزيع الطبيعي بين z = -1 و+1، ونحو 95% بين -2 و+2، ونحو 99.7% بين -3 و+3.
- لا تقول الدرجة z شيئاً عن كون القيمة جيدة أو سيئة، بل تبيّن فقط مدى بُعدها عن متوسط توزيعها.
ما هي الدرجة المعيارية z؟
تعيّر الدرجة z القيمة بأن تعبّر عن بُعدها عن المتوسط بوحدات الانحراف المعياري. فالدرجة 0 تعني أن القيمة مساوية للمتوسط، و+1 تعني انحرافاً معيارياً واحداً فوق المتوسط، و-2 تعني انحرافين معياريين تحته. هذه المعايرة تضع القياسات المأخوذة بمقاييس مختلفة على أرضية واحدة، ولهذا تُستخدم الدرجات z في مقارنة نتائج الاختبارات وقياسات النمو والتحاليل المخبرية عبر توزيعات متباينة.
عندما يكون التوزيع الأصلي طبيعياً (على شكل جرس)، ترتبط الدرجة z مباشرة بمئين عبر دالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري (CDF). تعطي هذه الدالة نسبة التوزيع الواقعة تحت قيمة z معيّنة؛ فنحو 84.13% من التوزيع الطبيعي يقع تحت z = 1، ونحو 97.72% يقع تحت z = 2. وتحسب هذه الأداة دالة التوزيع التراكمي بتقريب أبراموفيتز وستيغن (الصيغة 7.1.26)، وهو دقيق في حدود 7.5 x 10^-8 تقريباً.
غير أن تفسير المئين مشروط بالاعتدال. فالدرجات z يمكن حسابها لأي بيانات، لكن تحويلها إلى مئينات عبر دالة التوزيع الطبيعي لا يكون دقيقاً إلا إذا كان التوزيع قريباً من الطبيعي؛ أما مع البيانات الملتوية أو ثقيلة الأذيال فقد تكون المئينات المعروضة مضلِّلة.
كيفية استخدام حاسبة الدرجة المعيارية
- أدخل القيمة (x) التي تريد معايرتها — درجة اختبار فردية مثلاً.
- أدخل متوسط التوزيع الذي أتت منه القيمة.
- أدخل الانحراف المعياري للتوزيع، ويجب أن يكون أكبر من الصفر.
- اقرأ الدرجة z، والمئين (نسبة التوزيع الواقعة تحت القيمة بافتراض الاعتدال)، ونسبة ما فوقها.
صيغة الدرجة المعيارية
الدرجة z هي القيمة ناقص المتوسط، مقسومة على الانحراف المعياري: z = (x - mean) / sd. فإذا كانت z موجبة كانت القيمة فوق المتوسط، وإذا كانت سالبة كانت تحته.
مثال محلول: x = 130، المتوسط = 100، الانحراف المعياري = 15 (مقياس الذكاء التقليدي). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. أي أن القيمة تقع على بُعد انحرافين معياريين فوق المتوسط تماماً. ومن دالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري، النسبة الواقعة تحت z = 2 هي 0.9772، فتكون القيمة عند المئين 97.72، ويقع فوقها نحو 2.28% من التوزيع.
تُشتق المئينات من دالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري: المئين = CDF(z) x 100، ونسبة ما فوقها = (1 - CDF(z)) x 100. وليس لهذه الدالة تعبير مغلق، لذا تستخدم الأداة تقريب أبراموفيتز وستيغن (1964) رقم 7.1.26.
أخطاء شائعة
- تحويل الدرجات z إلى مئينات في بيانات بعيدة بوضوح عن الاعتدال، بينما يفترض هذا التحويل توزيعاً جرسي الشكل.
- الخلط في الاتجاه: الدرجة z السالبة تعني ببساطة أن القيمة تحت المتوسط، لا أنها خطأ أو نتيجة مستحيلة.
- القسمة على التباين بدل الانحراف المعياري؛ فمقام صيغة z هو الانحراف المعياري.
- استخدام متوسط وانحراف معياري لمجتمع ما لمعايرة قيمة تنتمي إلى مجموعة أخرى، وهو ما ينتج مقارنة بلا معنى.
- الخلط بين المئين والنسبة المئوية للدرجة: الوقوع عند المئين 97.7 يعني تجاوز نحو 97.7% من التوزيع، لا الحصول على 97.7% في الاختبار.
الأسئلة الشائعة
كيف أحسب الدرجة المعيارية z؟
اطرح المتوسط من القيمة ثم اقسم الناتج على الانحراف المعياري: z = (x - mean) / sd. فمثلاً، درجة 130 على مقياس متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15 تعطي z = (130 - 100) / 15 = 2، أي أن الدرجة تعلو المتوسط بانحرافين معياريين.
ما المئين المقابل لدرجة z تساوي 2؟
المئين 97.72 تقريباً. فقيمة دالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري عند z = 2 هي 0.9772، أي أن 97.72% من التوزيع الطبيعي يقع تحت تلك القيمة و2.28% يقع فوقها.
ما الدرجة z الجيدة؟
الدرجات z قياسات محايدة لا تقديرات، وحُسن أي درجة منها يتوقف كلياً على السياق. فدرجة +2 ممتازة في اختبار، لكنها مقلقة في قياس ضغط الدم. وتُعدّ القيم الواقعة خارج نطاق -2 إلى +2 تقريباً غير معتادة عرفاً، لأن أقل من 5% من التوزيع الطبيعي يقع خارج هذا النطاق.
هل يمكن أن تكون الدرجة z سالبة؟
نعم. الدرجة z السالبة تعني ببساطة أن القيمة تقع تحت المتوسط. فمثلاً z = -1.5 تشير إلى قيمة تنخفض عن المتوسط بانحراف معياري ونصف، أي عند المئين 6.68 تقريباً في التوزيع الطبيعي.
هل تتطلب الدرجات z توزيعاً طبيعياً؟
الدرجة z نفسها — أي البُعد عن المتوسط بوحدات الانحراف المعياري — معرَّفة لأي توزيع. لكن تحويلها إلى مئين بدالة التوزيع الطبيعي المعياري، كما تفعل هذه الأداة، لا يكون دقيقاً إلا إذا كان التوزيع قريباً من الطبيعي. أما في البيانات الملتوية فينبغي حساب المئينات من البيانات مباشرة.
ما مدى دقة المئين المعروض؟
ليس لدالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري تعبير مغلق دقيق، لذا تعتمد الأداة تقريب أبراموفيتز وستيغن (1964) الكسري رقم 7.1.26، وخطؤه المطلق أقل من 7.5 x 10^-8 — أي أدق بكثير من المنزلتين العشريتين المعروضتين.
المراجع
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).