فهم نتيجة مربع كاي
يعرض الجدول أدناه القيم الحرجة المعيارية لمربع كاي عند مستوى الدلالة المعتاد α = 0.05 لدرجات الحرية الشائعة. وتجاوز إحصاءة χ² المشاهَدة للقيمة المدرجة يدل على انحراف دال إحصائياً عن التوزيع المتوقَّع.
| درجات الحرية (df) | قيمة χ² الحرجة عند α = 0.05 |
|---|---|
| 1 | 3.841 |
| 2 | 5.991 |
| 3 | 7.815 |
| 4 | 9.488 |
| 5 | 11.070 |
| 6 | 12.592 |
| 8 | 15.507 |
| 10 | 18.307 |
- من القواعد التقريبية الشائعة الاستخدام (الواردة في مراجع الإحصاء المعيارية) أن تقريب مربع كاي يكون موثوقاً عندما لا يقل أي تكرار متوقَّع عن 5؛ ومع تكرارات متوقَّعة أصغر يكون الاختبار المضبوط أنسب.
- تنفّذ هذه الحاسبة اختبار جودة المطابقة فقط — متغيّر فئوي واحد مقابل توزيع مفترض — لا اختبار مربع كاي للاستقلال بين متغيّرين فئويين، الذي يستخدم حساباً مختلفاً للتكرارات المتوقَّعة (بضرب مجاميع الصفوف في مجاميع الأعمدة).
- يجب أن تكون قائمتا التكرارات المشاهَدة والمتوقَّعة بالطول نفسه، بفئتين على الأقل، وبتكرار متوقَّع موجب تماماً في كل فئة.
- النتيجة الدالة إحصائياً تدل على أن الفئات تختلف عن النسب المفترضة؛ لكنها لا تبيّن بذاتها أي فئة هي المسؤولة، ولا مقدار الفرق من الناحية العملية.
ما هو اختبار مربع كاي لجودة المطابقة؟
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في مجموعة من الفئات بالتكرارات التي يُتوقع ظهورها في ظل توزيع مفترض، ويقيس مقدار تباعدهما. وتنفّذ هذه الحاسبة صورة جودة المطابقة فقط — متغيّر فئوي واحد يُقارن بنسب متوقَّعة — لا اختبار مربع كاي للاستقلال المرتبط به، الذي يفحص الارتباط بين متغيّرين فئويين في جدول اقتران.
تجمع إحصاءة الاختبار الفرق المربّع والمُقيَّس بين كل تكرار مشاهَد ونظيره المتوقَّع عبر جميع الفئات: فالفروق الأكبر نسبةً إلى التكرارات المتوقَّعة تعطي قيمة χ² أكبر ودليلاً أقوى ضد التوزيع المفترض.
ولأن χ² دائماً صفر أو موجبة، فالاختبار أحادي الاتجاه بطبيعته: إذ لا تُعامَل كدليل على سوء المطابقة إلا قيم χ² الكبيرة على نحو غير معتاد (قياساً بتوزيع مربع كاي بدرجات الحرية المناسبة) — فلا يوجد ما يقابل اتجاهاً "سالباً" يُختبر مقابله.
كيفية استخدام حاسبة اختبار مربع كاي
- أدخل التكرارات المشاهَدة لكل فئة كقائمة مفصولة بفاصلة منقوطة، مثل 30; 25; 22; 23.
- أدخل التكرارات المتوقَّعة للفئات نفسها وبالترتيب نفسه كقائمة مفصولة بفاصلة منقوطة، مثل 25; 25; 25; 25.
- تأكّد من أن للقائمتين الطول نفسه (فئتان على الأقل) وأن كل تكرار متوقَّع أكبر من الصفر.
- اقرأ إحصاءة χ² ودرجات الحرية (عدد الفئات ناقص 1) والقيمة الاحتمالية p، وقارن القيمة الاحتمالية بمستوى الدلالة الذي اخترته (عادةً α = 0.05).
الصيغة وراء اختبار مربع كاي لجودة المطابقة
إحصاءة مربع كاي هي χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ، مجموعةً على جميع الفئات k، حيث Oᵢ التكرار المشاهَد و Eᵢ التكرار المتوقَّع في الفئة i. وتساوي درجات الحرية k − 1، أي أقل بواحد من عدد الفئات.
القيمة الاحتمالية p هي احتمال مشاهدة إحصاءة χ² لا تقل عن الإحصاءة المحسوبة، وفق توزيع مربع كاي بدرجات الحرية المعطاة، لو كان التوزيع المفترض (المتوقَّع) صحيحاً.
مثال محلول: تكرارات مشاهَدة 30 و25 و22 و23 مقابل تكرارات متوقَّعة قدرها 25 لكل فئة. χ² = (30−25)²/25 + (25−25)²/25 + (22−25)²/25 + (23−25)²/25 = 1 + 0 + 0.36 + 0.16 = 1.52، بدرجات حرية df = 4 − 1 = 3. وهذه القيمة أقل بكثير من القيمة الحرجة 7.815 عند α = 0.05 بثلاث درجات حرية، فالنتيجة إذاً غير دالة إحصائياً.
أخطاء شائعة
- استخدام اختبار جودة المطابقة هذا بينما يتعلق السؤال الحقيقي بمتغيّرين فئويين والارتباط بينهما — فذلك يتطلب اختبار مربع كاي للاستقلال بجدول اقتران للتكرارات المتوقَّعة، لا قائمة واحدة من المشاهَد مقابل المتوقَّع.
- مخالفة إرشاد التكرارات المتوقَّعة: فعندما تكون التكرارات المتوقَّعة صغيرة (عادةً دون 5 في فئة أو أكثر) يصبح تقريب مربع كاي غير موثوق ويكون الاختبار المضبوط أنسب.
- إدخال قائمتين مختلفتي الطول للتكرارات المشاهَدة والمتوقَّعة، أو ترتيب الفئات ترتيباً مختلفاً في كل قائمة، وهو ما يُخلّ بمحاذاة المقارنة.
- إدخال تكرار متوقَّع يساوي صفراً، وهو ما يجعل الحد (O − E)² / E لتلك الفئة غير معرَّف.
- اعتبار قيمة χ² الدالة إحصائياً دليلاً على فرق كبير أو مهم — فالدلالة تعني أن الانحراف يُستبعد أن يكون ناتجاً عن المصادفة، لا أنه كبير من الناحية العملية.
الأسئلة الشائعة
فيمَ يُستخدم اختبار مربع كاي لجودة المطابقة؟
يختبر ما إذا كانت التكرارات المشاهَدة في مجموعة من الفئات تطابق التكرارات المتوقَّعة لتوزيع مفترض — مثل التحقق مما إذا كانت تكرارات رميات حجر النرد المشاهَدة تطابق التوزيع المنتظم المتوقَّع، أو ما إذا كانت استجابات استبيان تطابق نسبة مفترضة.
كيف تُحسب إحصاءة مربع كاي؟
χ² = Σ (المشاهَد − المتوقَّع)² / المتوقَّع، مجموعةً على كل فئة. فالفروق الأكبر بين التكرارات المشاهَدة والمتوقَّعة، وخصوصاً نسبةً إلى التكرار المتوقَّع، تعطي قيمة χ² أكبر.
ما درجات الحرية في اختبار جودة المطابقة؟
تساوي درجات الحرية عدد الفئات ناقص 1 (df = k − 1). فمع 4 فئات، كما في المثال المحلول على هذه الصفحة، تكون df = 3.
لماذا يجب ألا تقل التكرارات المتوقَّعة عن 5؟
لا يُقرَّب توزيع إحصاءة اختبار مربع كاي تقريباً جيداً بتوزيع مربع كاي إلا عندما لا تكون التكرارات المتوقَّعة صغيرة جداً. وتشترط قاعدة تقريبية شائعة الذكر ألا يقل أي تكرار متوقَّع عن 5؛ ودون ذلك قد تكون القيمة الاحتمالية المستمدة من تقريب مربع كاي غير دقيقة ويُفضَّل الاختبار المضبوط.
هل هذا هو نفسه اختبار مربع كاي للاستقلال؟
لا. تنفّذ هذه الحاسبة اختبار جودة المطابقة، الذي يقارن التكرارات المشاهَدة لمتغيّر فئوي واحد بتوزيع مفترض. أما اختبار الاستقلال فيفحص ما إذا كان متغيّران فئويان مرتبطين، باستخدام جدول اقتران تُحسب فيه التكرارات المتوقَّعة من مجاميع الصفوف والأعمدة — وهو حساب مختلف.
المراجع
- Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5, 1900; 50(302): 157-175.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — chi-square goodness-of-fit test. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (chi-square goodness-of-fit test and expected-count guidelines).
- Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. Iowa State University Press (chi-square goodness-of-fit test).
- Agresti A. Categorical Data Analysis. Wiley (chi-square goodness-of-fit and independence tests).