صيغتان، فرق واحد صغير لكنه مهم
تبدأ صيغتا الانحراف المعياري بالطريقة نفسها: احسب متوسط البيانات، اطرحه من كل قيمة، ثم ربّع كل فرق واجمع المربعات معًا. يكمن الاختلاف بينهما في خطوة القسمة الأخيرة. الانحراف المعياري للمجتمع، ويُرمز له بالحرف اليوناني سيغما (σ)، يقسم مجموع مربعات الانحرافات على n، أي العدد الإجمالي للقيم، ثم يأخذ الجذر التربيعي. أما الانحراف المعياري للعينة، ويُرمز له بـ s، فيقسم المجموع نفسه على n - 1 بدلاً من ذلك، ثم يأخذ الجذر التربيعي -- وهذا التغيير يُعرف بتصحيح بيسل.
بما أن n - 1 هو دائمًا مقام أصغر من n (عندما تكون n أكبر من 1)، فإن الانحراف المعياري للعينة يكون دائمًا أكبر قليلاً من الانحراف المعياري للمجتمع المحسوب من الأرقام نفسها تمامًا. الصيغتان ليستا طريقتين متنافستين للإجابة عن السؤال نفسه؛ بل تجيبان عن سؤالين مختلفين حول البيانات نفسها، واختيار الصيغة الخاطئة يُنتج إجابة منحازة بشكل منهجي عن السؤال الذي كنت تنوي طرحه فعليًا.
مثال محلول: الأرقام الثمانية نفسها، إجابتان
خذ مجموعة البيانات 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (حيث n = 8). الخطوة 1: المتوسط هو (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. الخطوة 2: الانحرافات عن المتوسط هي -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4، وتربيع كل منها يعطي 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16، والتي يبلغ مجموعها 32. من هذا المجموع الواحد لمربعات الانحرافات، تتباعد الصيغتان فقط عند خطوة القسمة الأخيرة.
الانحراف المعياري للمجتمع: اقسم 32 على n = 8، فينتج تباين المجتمع 4، والجذر التربيعي لـ 4 هو 2 بالضبط. الانحراف المعياري للعينة: اقسم الـ 32 نفسها على n - 1 = 7، فينتج تباين العينة 32 / 7 = 4.571429 (مقربًا إلى ست منازل)، والجذر التربيعي لـ 4.571429 يساوي تقريبًا 2.13809. يعرض الجدول أدناه الحسابين جنبًا إلى جنب انطلاقًا من المجموع نفسه.
| الخطوة | صيغة المجتمع (القسمة على n) | صيغة العينة (القسمة على n - 1) |
|---|---|---|
| مجموع مربعات الانحرافات | 32 | 32 |
| المقام | n = 8 | n - 1 = 7 |
| التباين | 32 / 8 = 4 | 32 / 7 = 4.571429 |
| الانحراف المعياري | sqrt(4) = 2 | sqrt(4.571429) = 2.13809 |
لماذا نقسم على n - 1؟ شرح تصحيح بيسل
متوسط العينة المستخدم داخل حساب الانحراف مُحسوب من البيانات نفسها التي يُقاس تشتتها، وهو مضمون رياضيًا أن يكون القيمة التي تُدني مجموع مربعات الانحرافات لتلك العينة تحديدًا إلى أدنى حد. وهذا يعني أن مربعات الانحرافات المقيسة حول متوسط العينة تكون، في المتوسط، أصغر قليلاً من مربعات الانحرافات التي كانت ستُقاس حول متوسط المجتمع الحقيقي غير المعروف -- لذا فإن القسمة على n وحدها تُقلّل بشكل منهجي من تقدير تباين المجتمع عند العمل انطلاقًا من عينة.
القسمة على n - 1 بدلاً من n تُضخّم النتيجة بالقدر الكافي لتصحيح هذا الانحياز نحو الأسفل في المتوسط، مما يجعل تباين العينة مُقدرًا غير منحاز لتباين المجتمع عبر عمليات أخذ العينات المتكررة. يُعرف هذا التصحيح بتصحيح بيسل نسبة إلى عالم الفلك والرياضيات فريدريش بيسل من القرن التاسع عشر. أثره أكبر ما يكون في العينات الصغيرة -- فعند n = 8 يختلف المقامان 8 و7 بنسبة 12.5% -- ويتضاءل ليصبح شبه مهمَل مع تزايد n إلى المئات أو الآلاف، لأن n و n - 1 يتقاربان تناسبيًا.
هل لديك مجتمع أم عينة؟
استخدم الانحراف المعياري للمجتمع (القسمة على n) فقط عندما تكون مجموعة بياناتك هي المجموعة الكاملة التي تهمك، دون أي نية للتعميم إلى ما هو أبعد منها -- على سبيل المثال، أعمار كل لاعب في فريق رياضي محدد واحد، أو درجات امتحان كل طالب في فصل دراسي محدد واحد، عندما يكون السؤال يخص ذلك الفريق أو ذلك الفصل فقط ولا شيء أوسع منه.
استخدم الانحراف المعياري للعينة (القسمة على n - 1) كلما كانت بياناتك عبارة عن مجموعة فرعية مأخوذة من مجتمع أكبر، أو يُقصد بها تمثيل ذلك المجتمع الذي تريد استخلاص استنتاجات بشأنه -- على سبيل المثال، استطلاع لـ 500 عميل يُستخدم لتقدير الرضا لدى جميع العملاء، أو مشاركو تجربة سريرية يُستخدمون لتقدير أثر ما لدى عموم المرضى، أو دفعة من قياسات ضبط الجودة تُستخدم لوصف خط إنتاج كامل. هذه هي الحالة الأكثر شيوعًا بكثير في الإحصاء التطبيقي، وهذا هو سبب اعتماد معظم برمجيات الإحصاء افتراضيًا صيغة العينة (n - 1) ما لم يُطلب خلاف ذلك.
إلى أي مدى يهم هذا الاختيار فعليًا؟
بالنسبة للعينات الصغيرة جدًا، تكون الفجوة بين الصيغتين كبيرة نسبيًا، واختيار الصيغة الخاطئة قد يُشوّه بشكل ملموس النتائج اللاحقة، بما في ذلك فترات الثقة ودرجات z المبنية مباشرة على الانحراف المعياري. في مثال n = 8 أعلاه، تكون قيمة العينة (2.13809) أكبر بنحو 6.9% من قيمة المجتمع (2)، وهي فجوة كبيرة بما يكفي لتغيير عرض فترة الثقة بهامش مماثل.
مع تزايد حجم العينة، يصبح n و n - 1 أقرب تناسبيًا، ويتقارب الانحرافان المعياريان: فبالنسبة لعينة من 1,000، فإن القسمة على 999 بدلاً من 1,000 تُغيّر النتيجة بنسبة 0.05% تقريبًا فقط. في حالات العينات الكبيرة، نادرًا ما يُغيّر الاختيار الاستنتاجات العملية، لكن ينبغي مع ذلك تطبيق الصيغة الصحيحة، سواء للاتساق مع الممارسة الإحصائية المعيارية أو لأن حالات العينات الصغيرة -- حيث يكون الفرق الأكبر أهمية -- هي بالضبط الحالات التي يُهم فيها الإتقان أكثر ما يُهم.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الانحراف المعياري للعينة والانحراف المعياري للمجتمع؟
الانحراف المعياري للمجتمع يقسم مجموع مربعات الانحرافات عن المتوسط على n (عدد القيم) ويكون صحيحًا عندما تكون مجموعة البيانات هي المجتمع الكامل موضع الاهتمام. أما الانحراف المعياري للعينة فيقسم المجموع نفسه على n - 1 ويكون صحيحًا عندما تكون البيانات عينة تُستخدم لتقدير مجتمع أكبر. للبيانات نفسها، تكون قيمة العينة دائمًا أكبر قليلاً من قيمة المجتمع، لأنها تُقسم على رقم أصغر.
لماذا نقسم على n - 1 في حالة العينة؟
لأن متوسط العينة يُحسب من البيانات نفسها المستخدمة لقياس التشتت، فهو رياضيًا القيمة التي تُدني مجموع مربعات الانحرافات لتلك العينة، مما يجعل تلك الانحرافات أصغر بشكل منهجي قليلاً من الانحرافات حول متوسط المجتمع الحقيقي. القسمة على n - 1 بدلاً من n، وهو تصحيح يُعرف بتصحيح بيسل، يعوّض عن ذلك ويجعل تباين العينة مُقدرًا غير منحاز لتباين المجتمع.
أي صيغة يجب أن أستخدمها لاستطلاع أو تجربة؟
استخدم الانحراف المعياري للعينة (n - 1) كلما كانت بياناتك مجموعة فرعية يُقصد بها تمثيل مجتمع أكبر -- وهو ما يشمل الغالبية العظمى من الاستطلاعات والتجارب وعينات ضبط الجودة. استخدم الانحراف المعياري للمجتمع (n) فقط عندما تكون مجموعة بياناتك هي المجموعة الكاملة التي تدرسها، دون نية للتعميم إلى ما هو أبعد منها.
ما مدى اختلاف الإجابتين في الواقع العملي؟
في المثال المحلول (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9؛ n = 8)، الانحراف المعياري للمجتمع يساوي 2 بالضبط، والانحراف المعياري للعينة يساوي تقريبًا 2.13809، أي بفارق نحو 6.9%. تتقلص هذه الفجوة مع تزايد حجم العينة: فعند n = 1,000، تُغيّر القسمة على 999 بدلاً من 1,000 النتيجة بنحو 0.05% فقط، مما يجعل الاختيار أقل أهمية بكثير للعينات الكبيرة.
هل يؤثر تصحيح n - 1 على المتوسط أيضًا؟
لا. المتوسط هو دائمًا مجموع القيم البسيط مقسومًا على العدد n، بصرف النظر عما إذا كانت البيانات تمثل عينة أو مجتمعًا؛ ينطبق تصحيح بيسل فقط على حسابات الانحراف المعياري والتباين، وليس على المتوسط نفسه.
المراجع
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.