فهم الوسيط والمنوال والمدى
يصف كل مقياس من هذه المقاييس جانباً مختلفاً من البيانات. ويلخّص الجدول التالي ما يخبرك به كل منها.
| المقياس | ما الذي يصفه | الحساسية للقيم الشاذة |
|---|---|---|
| الوسيط | منتصف البيانات المرتبة؛ 50% من القيم تقع عنده أو دونه | منخفضة — يعتمد على ترتيب القيم فقط |
| المنوال | القيمة أو القيم الأكثر تكراراً؛ قمة التوزيع أو قممه | منخفضة — لا تتأثر بالقيم المتطرفة |
| المدى | التشتت الكلي من أصغر قيمة إلى أكبر قيمة | عالية — تحدده القيمتان المتطرفتان وحدهما |
- حين يكون المتوسط أكبر من الوسيط بوضوح، تكون البيانات عادةً ملتوية نحو اليمين (بذيل من القيم الكبيرة، كما في الدخول)؛ أما المتوسط الأقل من الوسيط فيشير إلى التواء نحو اليسار.
- قد لا يكون لمجموعة البيانات منوال (إذا كانت كل القيم مختلفة)، وقد يكون لها منوال واحد أو عدة منوالات؛ وتسرد هذه الحاسبة جميع القيم المتعادلة في أعلى تكرار.
- يقدّر وسيط العينة وسيط المجتمع؛ وهو، كسائر إحصاءات العينة، عرضة للتباين الناتج عن المعاينة.
ما الوسيط والمنوال والمدى؟
الوسيط هو القيمة التي تقسم مجموعة البيانات المرتبة إلى نصفين متساويين. ولإيجاده رتّب القيم من الأصغر إلى الأكبر؛ فإذا كان عدد القيم فردياً كان الوسيط هو القيمة الوسطى المفردة، وإذا كان زوجياً كان الوسيط هو المتوسط الحسابي للقيمتين الوسطيتين. ولأن الوسيط يعتمد على ترتيب البيانات لا على مقادير القيم المتطرفة، فإنه مقاوم للقيم الشاذة.
المنوال هو القيمة (أو القيم) الأكثر تكراراً في البيانات. وقد يكون لمجموعة البيانات منوال واحد، أو عدة منوالات (كالبيانات ثنائية المنوال ذات القمتين)، أو لا منوال لها على الإطلاق حين تظهر كل قيمة مرة واحدة فقط. والمنوال هو مقياس النزعة المركزية الوحيد الذي ينطبق أيضاً على البيانات الفئوية.
المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة. وهو أبسط مقاييس التشتت، لكنه لأنه يستعمل المشاهدتين المتطرفتين وحدهما يكون شديد الحساسية للقيم الشاذة؛ ويصف الانحراف المعياري أو المدى الربيعي التشتت بصورة أكثر مقاومة.
كيفية استخدام حاسبة الوسيط
- أدخل أرقامك مفصولة بفاصلة منقوطة، مثل: 7; 12; 3; 9; 21; 14. وتتولى الحاسبة ترتيبها نيابة عنك.
- اقرأ الوسيط. وحين يكون عدد القيم زوجياً يكون الوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيتين في القائمة المرتبة.
- اقرأ المنوال: القيمة أو القيم الأكثر تكراراً. وتظهر شرطة حين لا تتكرر أي قيمة، أي إن البيانات بلا منوال.
- اقرأ المدى، وهو الحد الأقصى ناقص الحد الأدنى — وهو مؤشر سريع على مدى تشتت البيانات.
كيف تُحسب قيم الوسيط والمنوال والمدى
الوسيط: رتّب القيم البالغ عددها n. فإذا كان n فردياً كان الوسيط هو القيمة في الموضع (n + 1) / 2. وإذا كان n زوجياً كان الوسيط هو متوسط القيمتين في الموضعين n/2 و n/2 + 1.
مثال محلول: القيم 7، 12، 3، 9، 21، 14. بعد الترتيب: 3، 7، 9، 12، 14، 21. عدد القيم n = 6 (زوجي)، فيكون الوسيط متوسط القيمتين الثالثة والرابعة: (9 + 12) / 2 = 10.5. ولا تتكرر أي قيمة، فلا منوال إذن. والمدى هو 21 - 3 = 18.
مثال ثانٍ فيه منوال: 2، 4، 4، 7، 9. بعد الترتيب تكون القيمة الوسطى (الثالثة) هي 4، فالوسيط 4. وتظهر القيمة 4 مرتين بينما تظهر كل قيمة أخرى مرة واحدة، فالمنوال إذن هو 4. والمدى هو 9 - 2 = 7.
أخطاء شائعة
- نسيان ترتيب البيانات قبل تحديد القيمة الوسطى — فالوسيط معرّف على القائمة المرتبة.
- أخذ إحدى القيمتين الوسطيتين بدلاً من متوسطهما حين يكون العدد زوجياً: ففي 3، 7، 9، 12، 14، 21 يكون الوسيط 10.5 وليس 9 أو 12.
- افتراض أن لكل مجموعة بيانات منوالاً — فحين لا تتكرر أي قيمة لا وجود للمنوال.
- استخدام المدى بوصفه مقياساً مقاوماً للتشتت؛ فهو يعتمد على القيمتين الأشد تطرفاً وحدهما ويتجاهل كل ما بينهما.
الأسئلة الشائعة
كيف أوجد وسيط مجموعة بيانات؟
رتّب القيم من الأصغر إلى الأكبر. فإذا كان عددها فردياً كان الوسيط هو القيمة الوسطى، وإذا كان زوجياً كان الوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيتين. فمثلاً في 7، 12، 3، 9، 21، 14 تكون القائمة بعد الترتيب 3، 7، 9، 12، 14، 21 ويكون الوسيط (9 + 12) / 2 = 10.5.
متى يكون الوسيط أفضل من المتوسط؟
حين تكون البيانات ملتوية أو تحتوي على قيم شاذة. فالوسيط يعتمد على ترتيب القيم فقط، ولذلك لا تكاد المشاهدة المتطرفة الواحدة تحركه، في حين قد يتزحزح المتوسط تزحزحاً كبيراً. ولهذا السبب تُلخَّص الدخول وأسعار المساكن عادةً بالوسيط.
هل يمكن أن يكون لمجموعة بيانات أكثر من منوال؟
نعم. فإذا تعادلت قيمتان أو أكثر في أعلى تكرار كانت البيانات متعددة المنوال وكانت كل القيم المتعادلة منوالات. فمثلاً في 1، 2، 2، 5، 7، 7، 9 تظهر كل من 2 و7 مرتين، فالبيانات ثنائية المنوال ومنوالاها 2 و7. أما إذا لم تتكرر أي قيمة فلا منوال لمجموعة البيانات.
ماذا يخبرني المدى؟
المدى هو الحد الأقصى ناقص الحد الأدنى — أي الامتداد الكلي للبيانات. وهو سريع الحساب سهل التفسير، لكنه لا يستعمل سوى القيمتين الأشد تطرفاً، فقد تضخّمه قيمة شاذة واحدة تضخيماً هائلاً. وللحصول على صورة أوفى للتشتت استخدم الانحراف المعياري أو المدى الربيعي.
هل يكون الوسيط دائماً قيمة موجودة فعلاً في البيانات؟
ليس دائماً. فحين يكون عدد القيم فردياً يكون الوسيط إحدى القيم المرصودة. أما حين يكون العدد زوجياً فيكون الوسيط متوسط القيمتين الوسطيتين، وقد لا يظهر هذا المتوسط في البيانات — فمثلاً الوسيط 10.5 للقائمة 3، 7، 9، 12، 14، 21 ليس واحداً من المشاهدات الست.
المراجع
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.