فهم النتائج الأربع
يعرض الجدول أدناه كل مخرج من المخرجات للمثال P(A) = 50% وP(B) = 30%، بافتراض الاستقلال.
| الناتج | الصيغة | القيمة في المثال |
|---|---|---|
| وقوع A وB معًا | P(A) x P(B) | 0.5 x 0.3 = 15% |
| وقوع أحدهما على الأقل (A أو B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0.5 + 0.3 - 0.15 = 65% |
| عدم وقوع A | 1 - P(A) | 1 - 0.5 = 50% |
| عدم وقوع أي منهما | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0.5 x 0.7 = 35% |
- تفترض جميع النتائج أن A وB مستقلان. وإذا كان الحدثان يؤثر أحدهما في الآخر (حدثان مترابطان) فإن هذه الصيغ لا تنطبق وتصبح الاحتمالات الشرطية ضرورية.
- «وقوع أحدهما على الأقل» و«عدم وقوع أي منهما» حدثان متممان: مجموع احتماليهما يساوي 100% دائمًا.
- تصف الاحتمالات التكرارات على المدى الطويل عبر تكرارات كثيرة؛ ففرصة قدرها 15% لا تعني أن الحدث سيقع في 15 محاولة بالضبط من المحاولات المئة التالية.
ما احتمال الأحداث المركّبة؟
الاحتمال عدد يقع بين 0 و1 (أو بين 0% و100%) يعبّر عن مدى ترجيح وقوع حدث ما: فالقيمة 0 تعني الاستحالة، والقيمة 1 تعني اليقين. وعند النظر إلى حدثين معًا، تحدد قواعد الاحتمال المعيارية كيفية اندماج احتماليهما المنفردين لتكوين احتمال النواتج المشتركة، مثل «وقوعهما معًا» أو «وقوع أحدهما على الأقل».
تفترض هذه الحاسبة أن الحدثين مستقلان: أي أن معرفتك بوقوع أحدهما لا تخبرك بشيء عن وقوع الآخر. ومن الأمثلة الكلاسيكية على الاستقلال رميات العملة، ورميات النرد المنفصلة، والسحوبات العشوائية غير المترابطة. وفي ظل الاستقلال يكون احتمال وقوع الحدثين معًا هو ببساطة حاصل ضرب احتماليهما المنفردين: P(A and B) = P(A) x P(B).
افتراض الاستقلال جوهري ويجب التحقق منه في ضوء الموقف الواقعي بدل اعتماده تلقائيًا. فسحب بطاقتين من المجموعة نفسها دون إرجاع، أو حدثان مناخيان في اليوم نفسه، أحداث مترابطة — إذ تغيّر النتيجة الأولى احتمالات الثانية — وعندئذ تقلل قاعدة الضرب من الاحتمال المشترك الحقيقي أو تبالغ فيه. أما الأحداث المترابطة فتستلزم احتمالات شرطية: P(A and B) = P(A) x P(B given A).
كيفية استخدام حاسبة الاحتمال هذه
- أدخل احتمال الحدث A كنسبة مئوية بين 0 و100، مثل 50 لظهور الوجه في عملة متزنة.
- أدخل احتمال الحدث B كنسبة مئوية، مثل 30.
- تأكد من أن الحدثين مستقلان فعلًا — فوقوع أحدهما يجب ألا يغيّر فرصة وقوع الآخر. فالصيغ المستخدمة هنا لا تصح إلا في ظل هذا الافتراض.
- اقرأ الاحتمالات المركّبة الأربعة: وقوعهما معًا، ووقوع أحدهما على الأقل، وعدم وقوع A، وعدم وقوع أي منهما.
قواعد الاحتمال للأحداث المستقلة
قاعدة الضرب (وقوعهما معًا): للأحداث المستقلة، P(A and B) = P(A) x P(B). قاعدة المتمم: P(not A) = 1 - P(A). عدم وقوع أي منهما: P(neither) = (1 - P(A)) x (1 - P(B))، وهي تطبيق لقاعدة الضرب على المتممين. وقوع أحدهما على الأقل (الاشتمال والاستبعاد): P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B).
مثال محلول عندما يكون P(A) = 50% وP(B) = 30%، أي 0.5 و0.3. وقوعهما معًا: 0.5 x 0.3 = 0.15 = 15%. وقوع أحدهما على الأقل: 0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65 = 65%. عدم وقوع A: 1 - 0.5 = 0.5 = 50%. عدم وقوع أي منهما: 0.5 x 0.7 = 0.35 = 35%. وللتحقق من الاتساق، فإن «وقوع أحدهما على الأقل» و«عدم وقوع أي منهما» حدثان متممان: 65% + 35% = 100%.
يمنع طرح P(A and B) في صيغة «وقوع أحدهما على الأقل» العدّ المزدوج: إذ إن النواتج التي يقع فيها الحدثان معًا كانت ستُحسب مرة ضمن P(A) ومرة أخرى ضمن P(B).
أخطاء شائعة
- جمع الاحتمالات لحساب «A أو B» دون طرح التداخل: فحاصل P(A) + P(B) وحده يعدّ النواتج التي يقع فيها الحدثان معًا مرتين، وقد يتجاوز 100%.
- ضرب احتمالات أحداث مترابطة كما لو كانت مستقلة — وسحب البطاقات دون إرجاع هو المثال المضاد الكلاسيكي.
- مغالطة المقامر: التعامل مع التجارب المستقلة كما لو أن النتائج السابقة تغيّر الاحتمالات اللاحقة؛ فالعملة المتزنة التي أظهرت الوجه خمس مرات ما تزال فرصة ظهور الوجه فيها في الرمية التالية 50%.
- الخلط بين «وقوعهما معًا» و«وقوع أحدهما على الأقل» — فعندما يكون P(A) = 50% وP(B) = 30% تبلغ القيمتان 15% و65%، وهما مقداران مختلفان تمامًا.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون حدثان مستقلين؟
يكون الحدثان مستقلين عندما لا يغيّر وقوع أحدهما احتمال وقوع الآخر — وصياغةً رسمية: P(A and B) = P(A) x P(B). فرميات العملة المنفصلة ورميات النرد غير المترابطة أحداث مستقلة؛ أما سحب بطاقتين من المجموعة نفسها دون إرجاع فليس كذلك، لأن السحبة الأولى تغيّر تركيبة المجموعة.
كيف أحسب احتمال وقوع الحدثين معًا؟
للأحداث المستقلة اضرب الاحتمالين المنفردين: P(A and B) = P(A) x P(B). فعلى سبيل المثال، عندما يكون P(A) = 50% وP(B) = 30% يبلغ احتمال وقوعهما معًا 0.5 x 0.3 = 0.15 أي 15%. ولا تصح قاعدة الضرب هذه إلا عندما يكون الحدثان مستقلين.
كيف أحسب احتمال وقوع حدث واحد على الأقل؟
استخدم قاعدة الاشتمال والاستبعاد: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B). ومع حدثين مستقلين احتمالاهما 50% و30% يكون الناتج 0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65 أي 65%. وبصورة مكافئة، احسب 1 ناقص احتمال ألا يقع أي منهما: 1 - (0.5 x 0.7) = 0.65.
لماذا لا أستطيع ببساطة جمع الاحتمالين لحساب «A أو B»؟
لأن النواتج التي يقع فيها الحدثان معًا ستُحسب مرتين — مرة ضمن P(A) ومرة ضمن P(B). فجمع 50% و30% يعطي 80%، بينما الإجابة الصحيحة للأحداث المستقلة هي 65% بعد طرح التداخل البالغ 15%. والجمع البسيط لا يصح إلا للأحداث المتنافية، وهي بحكم تعريفها لا يمكن أن تقع معًا.
ماذا لو لم يكن الحدثان مستقلين؟
عندئذ لا تنطبق هذه الصيغ. فالأحداث المترابطة يُحسب احتمالها المشترك باستخدام احتمال شرطي: P(A and B) = P(A) x P(B given A)، حيث P(B given A) هو احتمال وقوع B بعد معرفة أن A قد وقع. فمثلًا، فرصة سحب آسين من مجموعة قياسية دون إرجاع هي (4/52) x (3/51) وليست (4/52) x (4/52).
المراجع
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.