فهم نتيجة التوزيع ذي الحدين
يلخّص الجدول أدناه تعريف كل نمط من أنماط الحساب ومتى يكون الخيار المناسب.
| النمط | السؤال المُجاب عنه | الصيغة |
|---|---|---|
| بالضبط k | ما احتمال الحصول على k من النجاحات بالضبط؟ | P(X = k) |
| على الأكثر k | ما احتمال الحصول على k من النجاحات أو أقل؟ | P(X ≤ k) |
| على الأقل k | ما احتمال الحصول على k من النجاحات أو أكثر؟ | P(X ≥ k) |
- من القواعد التقريبية الشائعة (الواردة في مراجع الإحصاء المعيارية) أنه يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين بالتوزيع الطبيعي على نحو معقول عندما يكون كل من n × p و n × (1 − p) لا يقل عن 5، مع تحسّن التقريب أكثر باستخدام تصحيح الاتصال.
- يتطلب نموذج التوزيع ذي الحدين محاولات مستقلة واحتمال نجاح ثابتاً؛ والمعاينة دون إرجاع من مجتمع صغير ومحدود تُخلّ بالاستقلال وتستدعي استخدام التوزيع فوق الهندسي بدلاً منه.
- يجب أن تكون k عدداً صحيحاً بين 0 و n شاملة الطرفين؛ فقيم k غير الصحيحة أو الخارجة عن المدى ليست نتائج صالحة للتوزيع ذي الحدين.
- "على الأكثر k" و"على الأقل k + 1" متتامّان ومجموعهما 100% (أو بالتكافؤ: "على الأكثر k − 1" و"على الأقل k" مجموعهما 100%).
ما هو التوزيع ذو الحدين؟
يصف التوزيع ذو الحدين عدد النجاحات في عدد ثابت من المحاولات المستقلة (n)، لكل منها الاحتمال نفسه للنجاح (p) ونتيجتان محتملتان فقط في كل محاولة — نجاح أو فشل. ومن الأمثلة الكلاسيكية عدد مرات ظهور الوجه في عدد ثابت من رميات العملة، أو عدد الوحدات المعيبة في عيّنة ثابتة من خط إنتاج، شريطة أن يبقى احتمال النجاح ثابتاً عبر المحاولات.
التوزيع منفصل: لا يمكن لعدد النجاحات k أن يأخذ إلا قيماً صحيحة من 0 إلى n. ويعتمد شكله على كل من n و p — فهو متماثل عندما تكون p = 0.5، ويزداد التواؤه كلما اقتربت p من 0 أو من 1.
الافتراضان الأساسيان هما الاستقلال (نتيجة إحدى المحاولات لا تؤثر في غيرها) وثبات احتمال النجاح عبر جميع المحاولات. وعندما تُسحب المحاولات دون إرجاع من مجتمع صغير ومحدود، قد يُخَلّ بهذين الافتراضين ويكون التوزيع فوق الهندسي المرتبط به أنسب.
كيفية استخدام حاسبة التوزيع ذي الحدين
- أدخل عدد المحاولات n.
- أدخل احتمال النجاح في المحاولة الواحدة p كنسبة مئوية.
- أدخل عدد النجاحات k (عدد صحيح من 0 إلى n).
- اختر النمط: بالضبط k من النجاحات، أو على الأكثر k، أو على الأقل k، ثم اقرأ الاحتمال الناتج إلى جانب القيمة المتوقعة والانحراف المعياري للتوزيع.
الصيغة وراء الاحتمال ذي الحدين
يُعطى احتمال الحصول على k من النجاحات بالضبط في n من المحاولات بدالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ذي الحدين: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ، حيث C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) هو عدد طرق اختيار k من النجاحات ضمن n من المحاولات.
أما "على الأكثر k" فيجمع هذا الاحتمال لكل نتيجة من 0 إلى k؛ و"على الأقل k" يجمعه من k إلى n (أو بالتكافؤ: 1 ناقص احتمال على الأكثر k − 1).
القيمة المتوقعة للتوزيع (متوسط عدد النجاحات) هي n × p، وانحرافه المعياري هو √(n × p × (1 − p)).
مثال محلول: n = 20 محاولة، p = 50%، وبالضبط k = 8 من النجاحات. P(X = 8) = C(20, 8) × 0.5⁸ × 0.5¹² ≈ 12.01%. القيمة المتوقعة هي 20 × 0.5 = 10، والانحراف المعياري هو √(20 × 0.5 × 0.5) = √5 ≈ 2.2361.
أخطاء شائعة
- استخدام التوزيع ذي الحدين لمحاولات غير مستقلة أو يتغيّر فيها احتمال النجاح بين محاولة وأخرى، مثل السحب دون إرجاع من مجتمع صغير.
- أخطاء الفرق بواحد بين الأنماط — "على الأقل 4" ليس متمّمة "على الأكثر 4"؛ فمتمّمة "على الأكثر 4" هي "على الأقل 5".
- إدخال احتمال النجاح كعدد عشري (0.5) بدلاً من نسبة مئوية (50) حيث يتوقع الحقل نسبة مئوية.
- تطبيق التوزيع ذي الحدين على متغيّر متصل، أو على عدّ له أكثر من نتيجتين محتملتين في المحاولة الواحدة (وهو ما يستلزم نموذجاً متعدد الحدود بدلاً منه).
- نسيان أن التوزيع ذا الحدين يفترض بقاء p ثابتاً عبر جميع المحاولات n — فاحتمال ينجرف مع الوقت يُبطل النموذج.
الأسئلة الشائعة
كيف أحسب احتمالاً ذا حدين؟
استخدم P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ، حيث n عدد المحاولات، و p احتمال النجاح، و C(n, k) يحصي عدد طرق ترتيب k من النجاحات ضمن n من المحاولات. أما لحالتَي "على الأكثر" و"على الأقل" فاجمع هذه الصيغة على مدى قيم k المعني.
ما الشروط الواجب توافرها لاستخدام التوزيع ذي الحدين؟
يجب أن يكون عدد المحاولات ثابتاً (n)، وأن يكون لكل محاولة نتيجتان محتملتان فقط (نجاح أو فشل)، وأن يبقى احتمال النجاح (p) ثابتاً عبر المحاولات، وأن تكون المحاولات مستقلة بعضها عن بعض.
ما العدد المتوقع للنجاحات؟
القيمة المتوقعة (الوسط الحسابي) للتوزيع ذي الحدين هي n × p. فمثلاً، مع 20 محاولة واحتمال نجاح 50%، يكون العدد المتوقع للنجاحات 20 × 0.5 = 10.
ما الفرق بين "بالضبط" و"على الأكثر" و"على الأقل"؟
"بالضبط k" هو احتمال الحصول على k من النجاحات تماماً. و"على الأكثر k" يجمع الاحتمالات من 0 إلى k من النجاحات. و"على الأقل k" يجمع الاحتمالات من k إلى n من النجاحات؛ وهو يساوي 1 ناقص احتمال على الأكثر k − 1 من النجاحات.
متى يمكن للتوزيع الطبيعي أن يقارب التوزيع ذا الحدين؟
من القواعد التقريبية الشائعة أن التقريب معقول عندما يكون كل من n × p و n × (1 − p) لا يقل عن 5. وخارج هذا النطاق، ولا سيما عند n الصغيرة أو p البعيدة عن 0.5، يكون الحساب الدقيق للتوزيع ذي الحدين أوثق.
المراجع
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).