σ حاسبة الانحراف المعياري

فهم الانحراف المعياري الذي حصلت عليه

بالنسبة للبيانات القريبة من التوزيع الطبيعي (الجرسي الشكل)، تصف القاعدة التجريبية نسبة البيانات الواقعة ضمن عدد معين من الانحرافات المعيارية حول المتوسط.

• تنطبق القاعدة التجريبية 68-95-99.7 على التوزيعات القريبة من الطبيعي؛ أما البيانات الشديدة الالتواء أو ثقيلة الذيول فقد تحيد عن هذه النسب حيوداً كبيراً.
• استعمل صيغة العينة (n - 1) حين تكون البيانات عينة تُستخدم للاستدلال على مجتمع أكبر؛ ولا تستعمل صيغة المجتمع (n) إلا حين تكون مجموعة البيانات هي المجتمع المدروس بأكمله.
• الانحراف المعياري حساس للقيم الشاذة لأن الانحرافات تُربَّع؛ فقد تضخّمه قيمة متطرفة واحدة تضخيماً ملحوظاً.
• تتطلب هذه الحاسبة قيمتين على الأقل، إذ لا يمكن تقدير التشتت من مشاهدة واحدة.

ما الانحراف المعياري؟

يقيس الانحراف المعياري المسافة المعتادة التي تفصل قيم البيانات عن متوسطها. فالانحراف المعياري الصغير يعني أن القيم متجمعة بإحكام حول المتوسط، والكبير يعني أنها مبعثرة على نطاق واسع. وهو يُقاس بوحدات البيانات نفسها، مما يجعل تفسيره أيسر من تفسير التباين (وهو مربعه).

وجوهر المسألة هو التمييز بين صيغة العينة وصيغة المجتمع. فالانحراف المعياري للمجتمع (sigma) يقسم مجموع مربعات الانحرافات على n، ولا يكون صحيحاً إلا حين تكون مجموعة البيانات هي المجتمع المدروس بأكمله — مثل درجات الامتحان لكل طالب في فصل محدد بعينه. أما الانحراف المعياري للعينة (s) فيقسم على n - 1 بدلاً من ذلك، ويكون صحيحاً حين تكون البيانات عينة تُستخدم لتقدير تشتت مجتمع أكبر.

وتُعرف القسمة على n - 1 بتصحيح بيسل. فلأن متوسط العينة يُحسب من البيانات نفسها، تكون الانحرافات حوله أصغر بقليل بصورة منهجية من الانحرافات حول متوسط المجتمع الحقيقي (المجهول)؛ والقسمة على n - 1 بدلاً من n تعوّض هذا الفرق وتجعل تباين العينة مقدّراً غير متحيز لتباين المجتمع. ويكون أثر هذا التصحيح أكبر ما يكون في العينات الصغيرة، ويصبح مهملاً كلما كبر n.

كيفية استخدام حاسبة الانحراف المعياري

1. أدخل رقمين على الأقل مفصولين بفاصلة منقوطة، مثل: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
2. اقرأ الانحراف المعياري للعينة (s) إذا كانت بياناتك عينة من مجتمع أكبر — وهي الحالة المعتادة في المسوح والتجارب وفحوص الجودة.
3. اقرأ الانحراف المعياري للمجتمع (sigma) إذا كانت بياناتك هي المجتمع المدروس كاملاً.
4. استعمل المتوسط وتباين العينة وعدد القيم للتحقق من الحساب أو لنقله إلى تحليلات لاحقة مثل فترات الثقة والدرجات المعيارية z.

صيغ الانحراف المعياري

تبدأ الصيغتان بالخطوات نفسها: احسب المتوسط، ثم اطرحه من كل قيمة، ثم ربّع كل انحراف، ثم اجمع المربعات. وتقسم صيغة المجتمع هذا المجموع على n وتأخذ الجذر التربيعي؛ أما صيغة العينة فتقسم على n - 1 ثم تأخذ الجذر التربيعي.

مثال محلول على القيم 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9. الخطوة 1 — المتوسط: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. الخطوة 2 — مربعات الانحرافات: 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16، ومجموعها 32. الخطوة 3 (المجتمع) — 32 / 8 = 4، والجذر التربيعي sqrt(4) = 2. الخطوة 4 (العينة) — 32 / 7 = 4.571429 (وهو تباين العينة)، والجذر التربيعي sqrt(4.571429) = 2.13809 (بعد التقريب).

وقيمة العينة أكبر دائماً بقليل من قيمة المجتمع للبيانات نفسها، لأنها تقسم على عدد أصغر — إلا إذا كانت كل القيم متطابقة، فعندئذ تكون القيمتان صفراً. وتضيق الفجوة بينهما كلما كبر حجم العينة.

أخطاء شائعة

• استعمال صيغة المجتمع (القسمة على n) مع بيانات عينة — فهذا يقلّل بصورة منهجية من تقدير تشتت المجتمع الذي جاءت منه العينة؛ اقسم على n - 1 في حالة العينات.
• الخلط بين التباين والانحراف المعياري: فالتباين هو مربع الانحراف المعياري ويُقاس بوحدات مربعة.
• تطبيق قاعدة 68-95-99.7 على بيانات واضحة الالتواء أو ثقيلة الذيول، وهي بيانات لا تصدق عليها القاعدة.
• مقارنة الانحرافات المعيارية لمجموعات بيانات مقيسة بوحدات مختلفة أو على مقاييس شديدة التباين دون توحيد معياري (ولقياس التشتت النسبي يقسم معامل الاختلاف على المتوسط).

الأسئلة الشائعة

المراجع

1. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
2. Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
3. Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.