平均の結果を読み解く
平均は、中心を表すいくつかの指標のうちの1つです。下の表は、例のデータ12、15、18、22、9を用いてそれらを比較したものです。
| 指標 | 12, 15, 18, 22, 9の値 | 備考 |
|---|---|---|
| 平均 | 15.2 | 合計÷個数。すべての値を用いる。外れ値の影響を受けやすい |
| 中央値 | 15 | 並べ替えたリスト9, 12, 15, 18, 22の真ん中の値 |
| 最小値 | 9 | 最も小さい値 |
| 最大値 | 22 | 最も大きい値 |
| 範囲 | 13 | 最大値マイナス最小値。ばらつきを示す簡単な指標 |
- 平均は極端な値の影響を受けやすい指標です。非常に大きい、あるいは非常に小さい1つの数値が、平均を大きく動かすことがあります。歪みを見つけるには、平均と中央値を比較してください。
- 標本の平均は、その標本が抽出された母集団の平均を推定するものですが、標本抽出のばらつきにより両者は一般に一致しません。信頼区間計算機を参照してください。
- パーセンテージや割合の平均を取ることが妥当なのは、それらが同じ母数を共有している場合に限られます。そうでない場合は加重平均が必要です。
平均とは
平均——正式には算術平均——は、データ集合の中心を表す最も広く使われる指標です。すべての値を足し合わせ、値の個数で割ることで計算されます。平均はデータの釣り合いを取ります。平均より上にある値の偏差は、平均より下にある値の偏差と正確に打ち消し合います。
算術平均はデータ集合のすべての値を用いるため、効率的である一方、外れ値の影響を受けやすいという性質があります。1つの極端な値が、平均をデータの大部分から大きく引き離すことがあります——たとえば、12、15、18、22、9というリストに100を加えると、平均は15.2から約29.3まで上がります。所得や住宅価格のような歪んだ分布のデータでは、平均と併せて、あるいは平均の代わりに中央値が報告されることがよくあります。
「平均」という語は、中央値（真ん中の値）や最頻値（最も頻繁に現れる値）など、他の中心指標に対して緩く使われることもあります。統計学のテキストやこの計算機では、特に断りがない限り、平均は算術平均を意味します。
この平均計算機の使い方
- 数値をセミコロンで区切って入力します。例：12; 15; 18; 22; 9。小数や負の数も入力できます。
- 平均（算術平均）を確認します。これは合計を個数で割った値です。
- 補助的な統計量——合計、個数、最小値、最大値——を確認し、計算機が意図どおりにリストを読み取ったかを確かめます。
- 手計算で検算するには、すべての値を足し合わせ、入力した値の個数で合計を割ります。
平均の公式
n個の値x1、x2、...、xnの算術平均は、それらの合計をnで割ったものです。
計算例：12、15、18、22、9という値。手順1——足し合わせる：12 + 15 + 18 + 22 + 9 = 76。手順2——個数を数える：n = 5。手順3——割る：76 / 5 = 15.2。平均は15.2です。
平均は常にデータの最小値と最大値の間にあります。これは、合計を全観測値に均等に配分した場合に各観測値が取る値に等しくなります——76を5人に均等に分ければ、1人あたり15.2です。
よくある間違い
- 平均どうしを重みづけせずに平均する——2つのグループの平均どうしの平均が全体の平均に一致するのは、グループの大きさが同じ場合に限られます。
- 強く歪んだデータ（所得や住宅価格など）に平均を用いる——少数の大きな値が全体を支配するため、中央値の方がより代表的な値であることが多いです。
- 個数nを数える際に値を1つ数え忘れる——除数は、合計に足した値の個数と正確に一致していなければなりません。
- 同じ距離を移動した速度のような割合を算術平均で平均する——そのような状況には調和平均が必要です（平均計算機・各種平均を参照）。
よくある質問
平均はどう計算しますか。
すべての数値を足し合わせ、その合計を数値の個数で割ります。たとえば12、15、18、22、9の場合、合計は76で個数は5なので、平均は76 / 5 = 15.2です。
平均、平均値、中央値の違いは何ですか。
日常的な用法では「平均」は通常、算術平均——合計を個数で割ったもの——を指します。中央値は並べ替えたデータの真ん中の値で、最頻値は最も頻繁に現れる値です。この3つはいずれも中心を表す指標ですが、データが歪んでいたり外れ値を含んでいたりすると、大きく異なることがあります。
平均が誤解を招くのはどのような場合ですか。
データが歪んでいる場合や外れ値を含む場合です。算術平均はすべての値を使うため、1つの極端な観測値が、データの大部分がある場所から平均を大きくずらすことがあります。たとえば、あるグループの平均所得は、1人の非常に高い所得者によって押し上げられますが、中央値の所得は影響を受けません。平均と中央値の両方を報告することで、より全体像がつかめます。
平均はリストに含まれない数になることもありますか。
はい、むしろそれが普通です。12、15、18、22、9の平均は15.2であり、リストの中には存在しません。平均はデータの釣り合いの取れた点であり、必ずしも実際に観測された値ではありません——1家族あたりの子どもの平均数が1.9人であるというのが、その典型的な例です。
外れ値は平均にどう影響しますか。
どの値も合計に等しく寄与するため、他の値から大きく離れた値は、平均をその方向に引き寄せます。12、15、18、22、9というリストに100を加えると、平均は15.2から(76 + 100) / 6 = 29.33（四捨五入）に変わります。中央値の変化ははるかに小さく、これが外れ値の多いデータで中央値が好まれる理由です。
参考文献
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standard coverage of the arithmetic mean).
- Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.