正しい公式の選び方——順序と重複
適用すべき公式は、「順序が意味を持つか」「重複が許されるか」という2つの独立したイエス・ノーの問いによって、4通りに分かれます。
| 順序は意味を持つか | 重複は許されるか | 公式 | 例となる場面 |
|---|---|---|---|
| はい | いいえ | nPr = n! ÷ (n − r)! | 7人のランナーの中から1位・2位・3位を決める |
| はい | はい | nʳ | 0〜6の数字から重複を許して3桁のPINを作る |
| いいえ | いいえ | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | 7人の中から3人の委員会を選ぶ |
| いいえ | はい | C(n+r−1, r) | 7種類のアイスクリームから重複を許して3スクープを選ぶ |
- 同じnとrに対して、nCrは常にnPr以下になります（具体的にはnCr = nPr ÷ r!）。組合せは、同じ対象のr!通りの並べ方すべてを1つの数え方にまとめてしまうためです。
- r = 0のとき、慣習によりnPrとnCrはどちらも1になります——0個の対象を選ぶ方法（何も選ばない選び方）はちょうど1通りだからです。
- r = n（重複なし）のとき、nPr = n!、nCr = 1になります——n個すべてを順序なしの集合として「選ぶ」方法は1通りしかありませんが、それらすべてを順序をつけて並べる方法はn!通りあります。
順列と組合せとは
順列とは、順序が意味を持つ形での対象の並べ方です。n個の異なる対象の集合から（重複なしで）r個を選んで並べる順列の数はnPrと書き、「1位、2位、3位」のように、選んだ2つの対象を入れ替えると別の結果になる並べ方を数えます。
組合せとは、順序が意味を持たない形での対象の選び方です。n個の異なる対象からr個を選ぶ組合せの数はnCr（「n個からr個を選ぶ」、あるいは二項係数とも呼ばれます）と書き、委員会やトランプの手札のように、同じ対象の集合であれば順序が違っても同じ結果とみなされる選び方を数えます。
見分けるための鍵となる問いは、「選んだ同じ対象の順番を入れ替えると結果が変わるか」です。答えがイエスなら（例えば金・銀・銅メダルの授与や、棚に本を並べる場合）順列を使います。答えがノーなら（例えば3人の委員会を選ぶ場合や、トランプの手札を選ぶ場合）組合せを使います。この計算機は「重複あり」の場合の値も表示します。これは、同じ対象を2回以上選べる場合（PINコードの数字を選ぶ場合や、同じフレーバーを何度も選べるアイスクリームのスクープなど）に当てはまります。
順列・組合せ計算機の使い方
- n——選べる対象の総数を入力します。
- r——選ぶ（または並べる）対象の個数を入力します。rはn以下である必要があります。rがnより大きい場合、重複ありの結果も含めて、計算機は一切結果を返しません。
- 選ぶ順序が意味を持ち、重複が許されない場合は順列（nPr）を確認します。順序が意味を持たず、重複が許されない場合は組合せ（nCr）を確認します。
- 同じ対象を2回以上選べる場面では、標準のnPr・nCrの値ではなく「重複あり」の結果を使います。
順列と組合せの公式
重複なしでnからr個を選ぶ順列の数は、nPr = n! ÷ (n − r)!で、これはnから始まる連続するr個の降順の整数の積と同じです。計算例（n = 7、r = 3）：7P3 = 7 × 6 × 5 = 210——これは、7人の競技者の中から1位、2位、3位の異なる賞をそれぞれ割り当てる方法の数です。
重複なしでnからr個を選ぶ組合せの数は、nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!です。組合せでは順序を区別しないため、選んだ各グループの並べ方であるr!通りを割って除いています。計算例（n = 7、r = 3）：7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35——これは、7人の中から作れる異なる3人委員会の数です。
重複を許す順列（r個の各位置がn個の対象のどれでもよく、互いに独立に選べる場合）は単純にnʳです。n = 7、r = 3の場合：7³ = 343——例えば、0〜6の数字を使い、重複を許して作れる異なる3桁のコードの数です。重複を許す組合せは「スターズ・アンド・バーズ」の公式C(n + r − 1, r)を使います。n = 7、r = 3の場合：C(9, 3) = 84——例えば、7種類のフレーバーから、同じフレーバーの重複を許し、順序を問わずに3スクープを選ぶ方法の数です。
よくある間違い
- 実際には順序が意味を持たない場面で順列の公式を使ってしまうこと（あるいはその逆）——公式を選ぶ前に、選んだ2つの対象を入れ替えると結果が変わるかどうかを確認してください。
- 重複が許されるかどうかの確認を忘れること——「PINを選ぶ」（数字は重複可能）と「デッキからカードを配る」（重複なし、配られたカードはデッキに戻らない）では必要な公式が異なります。
- 重複が許されない状況で、rがnより大きい場合にnPrやnCrを適用してしまうこと——集合に存在する以上の数の異なる対象を、重複せずに選ぶことはできないため、これは定義されません。
- 「重複を許す組合せ」（スターズ・アンド・バーズの公式）と、単純なnCrを混同すること——両者はまったく異なる結果を与え、それぞれ異なる場面（重複あり・なし）に対応します。
よくある質問
順列と組合せの違いは何ですか？
順列は順序が意味を持つ並べ方を数えます（nPr = n! ÷ (n−r)!）——例えば1位・2位・3位を決める場合です。組合せは順序が意味を持たない選び方を数えます（nCr = n! ÷ (r!(n−r)!)）——例えば委員会を選ぶ場合です。n = 7、r = 3の場合：7P3 = 210（順序あり）ですが、7C3 = 35（順序なし）です。3人の各グループは3! = 6通りの順序で並べられるため、210 ÷ 6 = 35となるためです。
nCr（n個からr個を選ぶ）はどうやって計算しますか？
公式nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)を使います。n = 7、r = 3の場合：7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 5040 ÷ 144 = 35です。同じことですが、先にnPrを計算し（7 × 6 × 5 = 210）、それをr!（3! = 6）で割っても求まります：210 ÷ 6 = 35。
nPrはどうやって計算しますか？
公式nPr = n! ÷ (n − r)!を使います。これはnから始まる連続するr個の降順の整数の積に簡約できます。n = 7、r = 3の場合：7P3 = 7 × 6 × 5 = 210です。
順列・組合せの問題で重複を許すべきなのはどんなときですか？
1つの結果の中で同じ対象を2回以上選べる場合には重複を許します——例えばPINコードの数字や、同じフレーバーを複数スクープ選べるアイスクリームなどです。各対象を1回しか使えない場合には重複を許しません——例えば異なるトランプのカードを配る場合や、異なる人をそれぞれの役割に割り当てる場合です。
rがnに等しいときnPrはどうなりますか？
r = n（重複なしですべてのn個を並べる）のとき、nPrはn! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n!に簡約されます。これは、n個の異なる対象をすべて一列に並べる方法の総数を表します——例えば5個の対象は5! = 120通りにすべて並べることができます。
重複を許す組合せにおける「スターズ・アンド・バーズ」とは何ですか？
「スターズ・アンド・バーズ」は、重複を許す組合せを数えるための標準的な組合せ論の手法で、公式C(n + r − 1, r)を導きます。選んだr個の対象を「星（スター）」として表し、n個のカテゴリーの境界を示す「棒（バー）」で区切り、星と棒の並べ方を数えることで成り立っています。n = 7、r = 3の場合：C(9, 3) = 84です。
参考文献
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)