Comprendre votre intervalle de confiance
La largeur de l'intervalle traduit la précision de l'estimation. Le tableau ci-dessous montre comment l'intervalle de l'exemple (moyenne 50, écart type 8, n = 100) évolue selon le niveau de confiance.
| Niveau de confiance | Valeur de z | Marge d'erreur | Intervalle |
|---|---|---|---|
| 90% | 1,6449 | 1,316 | 48,684 - 51,316 |
| 95% | 1,96 | 1,568 | 48,432 - 51,568 |
| 99% | 2,5758 | 2,061 | 47,939 - 52,061 |
- Une confiance plus élevée élargit l'intervalle : la certitude s'achète au prix de la précision.
- Il s'agit d'un intervalle fondé sur z. Pour de petits échantillons (n inférieur à 30 environ) dont l'écart type est estimé sur les données, la loi de Student fournit un intervalle plus juste et légèrement plus large.
- L'intervalle suppose un sondage aléatoire simple et, pour un petit n, des données sous-jacentes approximativement normales. Un échantillonnage biaisé invalide l'intervalle, quelle que soit sa largeur.
- Quadrupler la taille d'échantillon réduit de moitié la largeur de l'intervalle, puisque l'erreur type varie en 1 / √n.
Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance ?
Un intervalle de confiance est une plage calculée à partir de données d'échantillon, conçue pour contenir le vrai paramètre de population — ici la moyenne de population — avec un taux de réussite annoncé sur le long terme. Un niveau de confiance de 95% signifie que si la même procédure d'échantillonnage était répétée un grand nombre de fois, environ 95% des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie moyenne.
L'intervalle est centré sur la moyenne d'échantillon et s'étend d'une marge d'erreur de part et d'autre. La marge d'erreur est le produit de la valeur critique (z) par l'erreur type de la moyenne, cette dernière valant l'écart type divisé par la racine carrée de la taille d'échantillon. Un échantillon plus grand réduit l'erreur type, et donc l'intervalle, proportionnellement à la racine carrée de n : quadrupler l'effectif divise par deux la largeur de l'intervalle.
La lecture correcte d'un intervalle à 95% porte sur la procédure, non sur un intervalle particulier : il n'est pas rigoureusement exact d'affirmer qu'il y a 95% de probabilité que la vraie moyenne se trouve dans cet intervalle précis, puisque la vraie moyenne est une valeur fixe et que chaque intervalle calculé la contient ou ne la contient pas. Les 95% renvoient à la fréquence de succès de la méthode au fil d'échantillonnages répétés.
Comment utiliser ce calculateur d'intervalle de confiance
- Saisissez la moyenne d'échantillon, c'est-à-dire la moyenne de vos valeurs mesurées.
- Saisissez l'écart type. Utilisez l'écart type d'échantillon (forme en n - 1) calculé sur vos données, ou la valeur de population si elle est connue.
- Saisissez la taille d'échantillon n (au moins 2) et choisissez un niveau de confiance : 90%, 95% ou 99%.
- Lisez l'intervalle, la marge d'erreur et l'erreur type. Pour de petits échantillons (couramment n inférieur à 30) dont l'écart type de population est inconnu, sachez qu'un intervalle fondé sur la loi de Student est légèrement plus large et plus juste.
La formule de l'intervalle de confiance
L'intervalle fondé sur z pour une moyenne s'écrit : moyenne d'échantillon plus ou moins z multiplié par (écart type / √n). Les valeurs critiques de z valent 1,6449 pour 90%, 1,96 pour 95% et 2,5758 pour 99% : ce sont les points de la loi normale centrée réduite laissant la probabilité totale correspondante dans les deux queues.
Exemple détaillé : moyenne 50, écart type 8, n = 100, confiance à 95%. Étape 1, l'erreur type : 8 / √100 = 8 / 10 = 0,8. Étape 2, la marge d'erreur : 1,96 x 0,8 = 1,568. Étape 3, l'intervalle : 50 - 1,568 = 48,432 et 50 + 1,568 = 51,568 ; l'intervalle de confiance à 95% s'étend donc de 48,432 à 51,568.
Ce calculateur s'appuie sur la loi normale centrée réduite (z), appropriée lorsque l'écart type de population est connu ou que l'échantillon est raisonnablement grand. Lorsque l'échantillon est petit (couramment n inférieur à 30) et que l'écart type de population est estimé sur l'échantillon, la loi de Student à n - 1 degrés de liberté fournit un intervalle légèrement plus large et plus juste ; l'écart entre les deux s'estompe à mesure que n augmente.
Erreurs fréquentes
- Lire un intervalle à 95% comme « 95% des données se situent dans cette plage » : l'intervalle décrit l'incertitude sur la moyenne, non la dispersion des observations individuelles.
- Affirmer qu'il y a 95% de probabilité que la vraie moyenne se trouve dans cet intervalle précis ; les 95% décrivent le taux de réussite de la procédure au fil d'échantillonnages répétés.
- Employer l'intervalle en z sur un petit échantillon dont l'écart type est estimé, alors que la loi de Student s'impose.
- Saisir l'erreur type au lieu de l'écart type : le calculateur se charge lui-même de la division par √n.
Questions fréquentes
Comment calculer un intervalle de confiance à 95% ?
Calculez l'erreur type (l'écart type divisé par la racine carrée de la taille d'échantillon), multipliez-la par 1,96 pour obtenir la marge d'erreur, puis ajoutez et retranchez cette marge à la moyenne d'échantillon. Exemple : moyenne 50, écart type 8, n = 100 donnent SE = 0,8, une marge de 1,568 et un intervalle allant de 48,432 à 51,568.
Que signifie réellement un niveau de confiance de 95% ?
Il décrit la performance de la méthode sur le long terme : si vous tiriez à répétition des échantillons de même taille en construisant un intervalle à partir de chacun, environ 95% de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne de population. Un intervalle donné, lui, contient la vraie moyenne ou ne la contient pas ; les 95% sont une propriété de la procédure, non d'un intervalle particulier.
Quand faut-il préférer la loi de Student à la loi normale ?
Employez la loi de Student lorsque l'échantillon est petit — la règle empirique courante fixe le seuil à n inférieur à 30 — et que l'écart type de population, inconnu, est estimé sur l'échantillon. La loi de Student possède des queues plus lourdes, ce qui produit un intervalle légèrement plus large rendant compte de l'incertitude supplémentaire ; sur de grands échantillons, les intervalles t et z deviennent pratiquement identiques.
Comment resserrer mon intervalle de confiance ?
Trois leviers existent : augmenter la taille d'échantillon (la largeur décroît en 1 / √n, si bien que quadrupler n la divise par deux), accepter un niveau de confiance plus faible (un intervalle à 90% est plus étroit qu'un intervalle à 99%), ou réduire la variabilité de mesure afin de diminuer l'écart type lui-même.
Quelle différence entre erreur type et écart type ?
L'écart type mesure la dispersion des observations individuelles autour de la moyenne. L'erreur type mesure quant à elle l'incertitude portant sur la moyenne d'échantillon, et vaut l'écart type divisé par √n. À mesure que l'échantillon grandit, l'écart type se stabilise près de sa valeur de population tandis que l'erreur type continue de tendre vers zéro.
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).