Comprendre votre écart type
Pour des données approximativement normales, en forme de cloche, la règle empirique indique quelle part des observations tombe dans un intervalle donné autour de la moyenne.
| Intervalle autour de la moyenne | Part approximative des données (loi normale) |
|---|---|
| À moins de 1 écart type | Environ 68% |
| À moins de 2 écarts types | Environ 95% |
| À moins de 3 écarts types | Environ 99,7% |
- La règle empirique 68-95-99,7 ne vaut que pour des distributions approximativement normales ; des données fortement asymétriques ou à queues lourdes s'écartent sensiblement de ces pourcentages.
- Employez la forme échantillon (n - 1) lorsque les données servent à inférer sur une population plus large ; réservez la forme population (n) au cas où la série couvre l'intégralité de la population étudiée.
- L'écart type reste sensible aux valeurs aberrantes, puisque les écarts sont élevés au carré : une seule valeur extrême peut le gonfler nettement.
- Ce calculateur exige au moins deux valeurs, car aucune dispersion ne peut être estimée à partir d'une observation unique.
Qu'est-ce que l'écart type ?
L'écart type quantifie la distance typique séparant les valeurs de leur moyenne. Un écart type faible signale des valeurs resserrées autour de la moyenne ; un écart type élevé traduit au contraire une forte dispersion. Puisqu'il s'exprime dans la même unité que les données, il se lit plus intuitivement que la variance, dont il est la racine carrée.
Le point d'enseignement essentiel reste la distinction entre la forme échantillon et la forme population. L'écart type de population (sigma) divise la somme des carrés des écarts par n : il ne convient que si la série constitue la population entière étudiée, par exemple les notes de tous les élèves d'une classe donnée. L'écart type d'échantillon (s) divise en revanche par n - 1, et s'impose dès que les données servent à estimer la dispersion d'une population plus large.
La division par n - 1 porte le nom de correction de Bessel. Puisque la moyenne est calculée sur les mêmes données, les écarts observés autour d'elle sont systématiquement un peu plus faibles que les écarts autour de la vraie moyenne de population, laquelle demeure inconnue ; diviser par n - 1 plutôt que par n compense ce biais et fait de la variance d'échantillon un estimateur sans biais de la variance de population. La correction pèse surtout sur les petits échantillons et devient négligeable lorsque n augmente.
Comment utiliser ce calculateur d'écart type
- Saisissez au moins deux nombres séparés par ;, par exemple : 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Lisez l'écart type d'échantillon (s) si vos données constituent un prélèvement au sein d'une population plus vaste : c'est le cas habituel en enquête, en expérimentation et en contrôle qualité.
- Lisez l'écart type de population (sigma) uniquement si vos données couvrent l'intégralité de la population étudiée.
- Servez-vous de la moyenne, de la variance d'échantillon et de l'effectif pour vérifier le calcul ou le prolonger vers d'autres analyses, comme les intervalles de confiance et les cotes Z.
Formules de l'écart type
Les deux formes démarrent de la même manière : on calcule la moyenne, on la soustrait de chaque valeur, on élève chaque écart au carré, puis on additionne ces carrés. La forme population divise ensuite cette somme par n et prend la racine carrée ; la forme échantillon divise par n - 1 avant de prendre la racine.
Exemple détaillé, avec les valeurs 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Étape 1, la moyenne : (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Étape 2, les carrés des écarts : 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, dont la somme vaut 32. Étape 3, forme population : 32 / 8 = 4, et √4 = 2. Étape 4, forme échantillon : 32 / 7 = 4,571429 (la variance d'échantillon), et √4,571429 = 2,13809 (arrondi).
Pour les mêmes données, la valeur d'échantillon dépasse toujours légèrement la valeur de population, puisqu'elle divise par un nombre plus petit — sauf si toutes les valeurs sont identiques, auquel cas les deux valent zéro. L'écart entre les deux se réduit à mesure que l'échantillon grandit.
Erreurs fréquentes
- Appliquer la formule de population (division par n) à des données d'échantillon : la dispersion de la population d'origine s'en trouve systématiquement sous-estimée ; divisez par n - 1 pour un échantillon.
- Confondre variance et écart type : la variance est le carré de l'écart type et s'exprime en unités au carré.
- Invoquer la règle 68-95-99,7 pour des données manifestement asymétriques ou à queues lourdes, où elle ne tient pas.
- Comparer les écarts types de séries mesurées dans des unités différentes ou à des échelles très éloignées sans les standardiser : pour une dispersion relative, le coefficient de variation rapporte l'écart type à la moyenne.
Questions fréquentes
Quelle différence entre l'écart type d'échantillon et celui de population ?
L'écart type de population divise la somme des carrés des écarts par n et convient lorsque vos données constituent la population entière. L'écart type d'échantillon divise par n - 1, selon la correction de Bessel, et convient lorsque vos données servent à estimer la dispersion d'une population plus large. Pour une même série, la valeur d'échantillon est toujours légèrement supérieure (les deux valent zéro si toutes les valeurs sont identiques) ; l'écart s'estompe à mesure que la taille d'échantillon augmente.
Pourquoi diviser par n - 1 plutôt que par n ?
Puisque la moyenne est calculée sur les mêmes données, les écarts observés autour d'elle sont systématiquement un peu plus faibles que les écarts autour de la vraie moyenne de population. Diviser par n - 1 au lieu de n compense ce biais et fait de la variance d'échantillon un estimateur sans biais de la variance de population. Cet ajustement porte le nom de correction de Bessel.
Comment calculer un écart type à la main ?
Trouvez d'abord la moyenne. Soustrayez-la ensuite de chaque valeur, élevez chaque résultat au carré, puis additionnez ces carrés. Pour un échantillon, divisez cette somme par n - 1 ; pour une population, divisez par n. Prenez enfin la racine carrée. Exemple : pour 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, la moyenne vaut 5, la somme des carrés des écarts vaut 32, et l'écart type d'échantillon vaut √(32 / 7) = 2,138 (arrondi).
Que signifie un écart type de 0 ?
Que toutes les valeurs de la série sont identiques : il n'existe aucune dispersion. Plus l'écart type est grand, plus les valeurs s'éloignent de la moyenne en règle générale. Un écart type ne peut jamais être négatif.
En quoi consiste la règle 68-95-99,7 ?
Pour des données approximativement normales, en forme de cloche, environ 68% des valeurs se situent à moins d'un écart type de la moyenne, environ 95% à moins de deux, et environ 99,7% à moins de trois. Cette règle permet de juger rapidement si une observation sort de l'ordinaire, mais elle n'est fiable que si la distribution est à peu près normale.
La variance est-elle la même chose que l'écart type ?
Non. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, et l'écart type en est la racine carrée. La variance s'exprime en unités au carré, par exemple en cm^2 pour des données mesurées en cm : c'est pourquoi on cite habituellement l'écart type, exprimé dans l'unité d'origine, pour décrire une dispersion.
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.