χ² Calculateur de test du khi-deux

Comprendre votre résultat au khi-deux

Le tableau ci-dessous donne les valeurs critiques standard du khi-deux au seuil conventionnel α = 0,05 pour les degrés de liberté les plus courants. Une statistique χ² observée dépassant la valeur indiquée signale un écart statistiquement significatif par rapport à la distribution attendue.

• Une règle empirique répandue dans les manuels de statistique veut que l'approximation du khi-deux soit fiable lorsque chaque effectif attendu vaut au moins 5 ; avec des effectifs attendus plus faibles, un test exact convient mieux.
• Ce calculateur n'effectue que le test d'ajustement — une seule variable catégorielle face à une distribution hypothétique — et non le test d'indépendance du khi-deux entre deux variables catégorielles, qui repose sur un calcul d'effectifs attendus différent, ligne par colonne.
• Les listes d'effectifs observés et attendus doivent avoir la même longueur, comporter au moins 2 catégories et n'inclure que des effectifs attendus strictement positifs.
• Un résultat significatif indique que les catégories s'écartent des proportions hypothétiques ; il n'indique pas à lui seul quelle catégorie est en cause, ni quelle est l'ampleur pratique de l'écart.

Qu'est-ce qu'un test d'ajustement du khi-deux ?

Le test d'ajustement du khi-deux compare les effectifs observés dans un ensemble de catégories aux effectifs attendus sous une distribution hypothétique, et mesure l'ampleur de leur divergence. Ce calculateur n'effectue que la version d'ajustement — une seule variable catégorielle confrontée à des proportions attendues — et non le test d'indépendance du khi-deux, qui examine l'association entre deux variables catégorielles dans un tableau de contingence.

La statistique de test somme, sur l'ensemble des catégories, l'écart au carré entre effectif observé et effectif attendu, rapporté à l'effectif attendu : plus les écarts sont grands relativement aux effectifs attendus, plus la valeur de χ² est élevée et plus la preuve contre la distribution hypothétique est forte.

Puisque χ² est toujours nul ou positif, le test est par nature unidirectionnel : seules des valeurs de χ² anormalement grandes (au regard de la loi du khi-deux aux degrés de liberté correspondants) sont interprétées comme le signe d'un mauvais ajustement — il n'existe pas de direction « négative » à tester.

Comment utiliser ce calculateur de test du khi-deux

1. Saisissez les effectifs observés de chaque catégorie sous forme de liste séparée par ;, par exemple 30; 25; 22; 23.
2. Saisissez les effectifs attendus pour les mêmes catégories, dans le même ordre, sous forme de liste séparée par ;, par exemple 25; 25; 25; 25.
3. Vérifiez que les deux listes ont la même longueur (au moins 2 catégories) et que chaque effectif attendu est strictement positif.
4. Lisez la statistique χ², les degrés de liberté (nombre de catégories moins 1) et la valeur p, puis comparez cette dernière au seuil de signification retenu (couramment α = 0,05).

La formule derrière le test d'ajustement du khi-deux

La statistique du khi-deux vaut χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ, sommée sur les k catégories, où Oᵢ est l'effectif observé et Eᵢ l'effectif attendu de la catégorie i. Les degrés de liberté valent k − 1, soit un de moins que le nombre de catégories.

La valeur p est la probabilité d'observer une statistique χ² au moins aussi grande que celle calculée, selon la loi du khi-deux aux degrés de liberté considérés, si la distribution hypothétique (attendue) était vraie.

Exemple chiffré : effectifs observés 30, 25, 22, 23 face à des effectifs attendus de 25 chacun. χ² = (30−25)²/25 + (25−25)²/25 + (22−25)²/25 + (23−25)²/25 = 1 + 0 + 0,36 + 0,16 = 1,52, avec df = 4 − 1 = 3. Cette valeur reste très inférieure à la valeur critique de 7,815 pour α = 0,05 à 3 degrés de liberté : le résultat n'est donc pas statistiquement significatif.

Erreurs fréquentes

• Recourir à ce test d'ajustement alors que la vraie question porte sur deux variables catégorielles et leur association : celle-ci relève d'un test d'indépendance du khi-deux avec un tableau de contingence d'effectifs attendus, non d'une simple liste observés/attendus.
• Enfreindre la règle sur les effectifs attendus : lorsqu'ils sont faibles (couramment inférieurs à 5 dans une ou plusieurs catégories), l'approximation du khi-deux devient peu fiable et un test exact convient mieux.
• Saisir des listes d'effectifs observés et attendus de longueurs différentes, ou ranger les catégories dans un ordre différent d'une liste à l'autre, ce qui désaligne la comparaison.
• Saisir un effectif attendu nul, ce qui rend indéfini le terme (O − E)² / E de cette catégorie.
• Prendre un χ² significatif pour la preuve d'un écart important : la signification indique que l'écart tient difficilement au hasard, non qu'il est grand en pratique.

Questions fréquentes

Références

1. Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5, 1900; 50(302): 157-175.
2. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — chi-square goodness-of-fit test. nist.gov.
3. Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (chi-square goodness-of-fit test and expected-count guidelines).
4. Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. Iowa State University Press (chi-square goodness-of-fit test).
5. Agresti A. Categorical Data Analysis. Wiley (chi-square goodness-of-fit and independence tests).