Comprendre votre résultat bayésien
En maintenant la sensibilité à 95% et le taux de faux positifs à 5%, le tableau ci-dessous montre à quel point la probabilité a posteriori dépend de l'a priori — c'est l'effet de prévalence au cœur du théorème de Bayes.
| A priori P(A) | A posteriori P(A | B), à 95% de sensibilité et 5% de faux positifs |
|---|---|
| 0,1% | ≈ 1,87% |
| 1% | ≈ 16,10% |
| 10% | ≈ 67,86% |
| 50% | ≈ 95,00% |
- La probabilité a posteriori est très sensible à la probabilité a priori, surtout lorsque celle-ci est faible : c'est pourquoi on ne peut ignorer la prévalence en interprétant un test positif ou toute autre information nouvelle.
- La formule de ce calculateur s'applique à une partition binaire : un événement A et son complémentaire ¬A. Les situations comportant plus de deux possibilités mutuellement exclusives (plusieurs diagnostics candidats, par exemple) exigent la forme complète de la loi des probabilités totales sur l'ensemble des possibilités.
- Le taux de faux positifs, P(B | ¬A), n'est pas la spécificité : il vaut 1 moins la spécificité, si bien qu'un test décrit comme « spécifique à 95% » présente un taux de faux positifs de 5%.
- Arrondir les probabilités intermédiaires avant de les combiner peut fausser sensiblement l'a posteriori final, en particulier lorsque l'a priori est faible ; conservez autant que possible toute la précision au fil du calcul.
Qu'est-ce que le théorème de Bayes ?
Le théorème de Bayes est une formule permettant d'actualiser la probabilité d'un événement (A) après l'observation d'une nouvelle information (B), en combinant une probabilité a priori et la vraisemblance de cette information selon les différents scénarios. Il s'écrit P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B) et convertit une probabilité « directe » — par exemple la probabilité d'un test positif sachant la maladie — en la probabilité « inverse » qui intéresse réellement : la probabilité de la maladie sachant un test positif.
Ce calculateur adopte le cadre courant du test diagnostique : P(A) est la probabilité a priori (prévalence) de la condition dans la population concernée avant tout test, P(B | A) est la sensibilité — la probabilité d'un résultat positif sachant que la condition est présente — et P(B | ¬A) le taux de faux positifs — la probabilité d'un résultat positif sachant que la condition est absente (soit 1 moins la spécificité).
Le biais de négligence de la prévalence est l'erreur fréquente qui consiste à se focaliser sur la sensibilité d'un test en ignorant la probabilité a priori. Un test peut afficher une sensibilité élevée et un faible taux de faux positifs tout en produisant une probabilité a posteriori très inférieure à ce que suggère l'intuition, dès lors que la condition recherchée est rare dans la population.
Comment utiliser ce calculateur du théorème de Bayes
- Saisissez la probabilité a priori P(A) — la prévalence de l'événement ou de la condition dans la population concernée — en pourcentage.
- Saisissez P(B | A), la sensibilité : la probabilité d'observer l'indice sachant que l'événement est vrai.
- Saisissez P(B | ¬A), le taux de faux positifs : la probabilité d'observer l'indice sachant que l'événement est faux.
- Lisez la probabilité a posteriori P(A | B), la probabilité totale de l'indice P(B) et le rapport de vraisemblance (facteur de Bayes), qui compare la vraisemblance de l'indice sous A et sous ¬A.
La formule derrière le théorème de Bayes
Le théorème de Bayes développe le dénominateur P(B) au moyen de la loi des probabilités totales sur les deux possibilités A et ¬A : P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / [P(B | A) × P(A) + P(B | ¬A) × (1 − P(A))].
Exemple chiffré : a priori P(A) = 1%, sensibilité P(B | A) = 95%, taux de faux positifs P(B | ¬A) = 5%. Numérateur : 0,95 × 0,01 = 0,0095. Probabilité totale d'un résultat positif : P(B) = 0,95 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059. A posteriori : P(A | B) = 0,0095 / 0,059 ≈ 0,1610, soit une probabilité a posteriori d'environ 16,10% — alors même que le test identifie correctement 95% des vrais cas, l'essentiel des résultats positifs provient ici du réservoir bien plus vaste de personnes indemnes de la condition.
Le rapport de vraisemblance (facteur de Bayes) vaut P(B | A) / P(B | ¬A). Dans l'exemple, 0,95 / 0,05 = 19 : un résultat positif est donc 19 fois plus probable si A est vrai que si A est faux.
Erreurs fréquentes
- Confondre P(B | A), la sensibilité, et P(A | B), la probabilité a posteriori : croire qu'un test très sensible et positif implique une forte probabilité d'être réellement atteint, en ignorant la prévalence, constitue le biais classique de négligence de la prévalence.
- Ignorer complètement la probabilité a priori : un test de 95% de sensibilité et de 5% de faux positifs ne donne qu'un a posteriori d'environ 16% lorsque l'a priori vaut 1%, l'essentiel des positifs provenant du réservoir bien plus vaste de vrais négatifs.
- Traiter spécificité et taux de faux positifs comme interchangeables sans conversion : ce calculateur demande P(B | ¬A), le taux de faux positifs, égal à 1 moins la spécificité.
- Appliquer la formule à deux termes alors qu'il existe plus de deux possibilités mutuellement exclusives : la version A contre ¬A ne vaut que pour une partition binaire des issues.
- Arrondir les probabilités intermédiaires avant de les combiner, ce qui cumule l'erreur dans un calcul particulièrement sensible aux faibles variations de l'a priori quand la prévalence est basse.
Questions fréquentes
Pourquoi un test fiable à 95% peut-il se tromper le plus souvent sur un positif ?
Lorsque la condition est rare, la plupart des résultats positifs proviennent du réservoir bien plus vaste de personnes indemnes ayant obtenu un faux positif, plutôt que du petit groupe de personnes réellement atteintes. Avec un a priori de 1%, une sensibilité de 95% et un taux de faux positifs de 5%, la probabilité a posteriori après un test positif n'atteint qu'environ 16,10%, alors même que le test identifie correctement 95% des vrais cas.
Qu'est-ce que le biais de négligence de la prévalence ?
C'est l'erreur courante qui consiste à juger la probabilité d'un événement au vu d'un indice (un test positif, par exemple) en se fondant surtout sur la performance de cet indice, tout en ignorant la rareté ou la fréquence de l'événement. Le théorème de Bayes corrige ce travers en intégrant explicitement la probabilité a priori.
Quelle différence entre sensibilité, spécificité et taux de faux positifs ?
La sensibilité est la probabilité d'un résultat positif sachant la condition présente, P(B | A). La spécificité est la probabilité d'un résultat négatif sachant la condition absente. Le taux de faux positifs est le complémentaire de la spécificité : la probabilité d'un résultat positif sachant la condition absente, soit P(B | ¬A) = 1 − spécificité.
Qu'est-ce qu'un facteur de Bayes (rapport de vraisemblance) ?
Le facteur de Bayes, ou rapport de vraisemblance, vaut P(B | A) divisé par P(B | ¬A) : il indique combien de fois l'indice observé est plus probable sous A que sous ¬A. Dans l'exemple de cette page (95% de sensibilité, 5% de faux positifs), il vaut 19 : un résultat positif est donc 19 fois plus probable si la condition est présente que si elle est absente.
Comment l'a priori influence-t-il l'a posteriori ?
De façon spectaculaire. À sensibilité et taux de faux positifs constants, un a priori plus faible produit un a posteriori bien plus bas, une plus grande part des positifs provenant des faux positifs parmi les nombreux vrais négatifs. Faire passer l'a priori de 1% à 10% (à 95% de sensibilité et 5% de faux positifs) élève l'a posteriori d'environ 16,10% à environ 67,86%.
L'a priori, la sensibilité et le taux de faux positifs doivent-ils sommer à 100% ?
Non. Ce sont trois probabilités distinctes décrivant des choses différentes — la prévalence de l'événement, puis les deux probabilités conditionnelles de l'indice selon chaque scénario — et aucune ne doit sommer à un total particulier.
Références
- Bayes T, Price R. An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1763; 53: 370-418.
- Kahneman D, Tversky A. On the psychology of prediction. Psychological Review 1973; 80(4): 237-251 (base-rate neglect in probability judgment).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — probability rules and Bayes' theorem. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (conditional probability and Bayes' rule).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (Bayes' theorem and conditional probability).