Comprendre la médiane, le mode et l'étendue
Chaque statistique décrit un aspect différent des données. Le tableau ci-dessous résume ce que chacune vous apprend.
| Statistique | Ce qu'elle décrit | Sensibilité aux valeurs aberrantes |
|---|---|---|
| Médiane | Le centre des données ordonnées ; 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales | Faible — ne dépend que de l'ordre des valeurs |
| Mode | La ou les valeurs les plus fréquentes ; le ou les pics de la distribution | Faible — insensible aux valeurs extrêmes |
| Étendue | Dispersion totale, de la plus petite à la plus grande valeur | Élevée — entièrement déterminée par les deux extrêmes |
- Lorsque la moyenne dépasse nettement la médiane, les données sont généralement asymétriques à droite (une queue de valeurs élevées, comme pour les revenus) ; une moyenne inférieure à la médiane suggère au contraire une asymétrie à gauche.
- Un jeu de données peut n'avoir aucun mode (toutes les valeurs distinctes), un seul mode, ou plusieurs ; ce calculateur énumère toutes les valeurs à égalité de fréquence maximale.
- La médiane d'un échantillon estime la médiane de la population ; comme toute statistique d'échantillon, elle est soumise à la variabilité d'échantillonnage.
Que sont la médiane, le mode et l'étendue ?
La médiane est la valeur qui partage en deux un jeu de données ordonné. Pour la trouver, triez les valeurs de la plus petite à la plus grande : avec un nombre impair de valeurs, la médiane est l'unique valeur centrale ; avec un nombre pair, c'est la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales. Puisque la médiane ne dépend que de l'ordre des données, et non de l'ampleur des valeurs extrêmes, elle résiste bien aux valeurs aberrantes.
Le mode est la valeur — ou les valeurs — qui reviennent le plus souvent dans les données. Un jeu de données peut posséder un seul mode, plusieurs modes (des données bimodales à deux pics, par exemple), ou aucun mode lorsque chaque valeur n'apparaît qu'une fois. Le mode est la seule mesure de tendance centrale qui s'applique également à des données catégorielles.
L'étendue est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur. C'est la mesure de dispersion la plus simple, mais comme elle ne mobilise que les deux observations extrêmes, elle est très sensible aux valeurs aberrantes ; l'écart type ou l'écart interquartile décrivent la dispersion de façon plus robuste.
Comment utiliser ce calculateur de médiane
- Saisissez vos nombres séparés par ;, par exemple : 7; 12; 3; 9; 21; 14. Le calculateur les trie pour vous.
- Lisez la médiane. Avec un nombre pair de valeurs, elle correspond à la moyenne des deux valeurs centrales de la liste triée.
- Lisez le mode : la ou les valeurs les plus fréquentes. Un tiret s'affiche si aucune valeur ne se répète, signe que les données n'ont pas de mode.
- Lisez l'étendue, soit le maximum moins le minimum — une indication rapide de la dispersion des données.
Comment se calculent la médiane, le mode et l'étendue
Médiane : triez les n valeurs. Si n est impair, la médiane est la valeur située en position (n + 1) / 2. Si n est pair, la médiane est la moyenne des valeurs situées en positions n/2 et n/2 + 1.
Exemple chiffré : les valeurs 7, 12, 3, 9, 21, 14. Une fois triées : 3, 7, 9, 12, 14, 21. Il y a n = 6 valeurs (nombre pair), donc la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : (9 + 12) / 2 = 10,5. Aucune valeur ne se répète, il n'y a donc pas de mode. L'étendue vaut 21 - 3 = 18.
Deuxième exemple, avec un mode : 2, 4, 4, 7, 9. Une fois triées, la valeur centrale (la 3e) vaut 4, donc la médiane vaut 4. La valeur 4 apparaît deux fois tandis que toutes les autres n'apparaissent qu'une fois : le mode vaut donc 4. L'étendue vaut 9 - 2 = 7.
Erreurs fréquentes
- Oublier de trier les données avant de repérer la valeur centrale — la médiane se définit sur la liste ordonnée.
- Prendre l'une des deux valeurs centrales au lieu de leur moyenne quand l'effectif est pair : pour 3, 7, 9, 12, 14, 21 la médiane vaut 10,5, et non 9 ou 12.
- Supposer que tout jeu de données possède un mode — lorsque aucune valeur ne se répète, le mode n'existe pas.
- Utiliser l'étendue comme mesure robuste de dispersion : elle ne dépend que des deux valeurs les plus extrêmes et ignore tout ce qui se trouve entre elles.
Questions fréquentes
Comment trouver la médiane d'un jeu de données ?
Triez les valeurs de la plus petite à la plus grande. Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur centrale. S'il est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales. Par exemple, pour 7, 12, 3, 9, 21, 14, la liste triée est 3, 7, 9, 12, 14, 21 et la médiane vaut (9 + 12) / 2 = 10,5.
Quand la médiane vaut-elle mieux que la moyenne ?
Lorsque les données sont asymétriques ou contiennent des valeurs aberrantes. La médiane ne dépend que de l'ordre des valeurs : une observation extrême la déplace à peine, alors que la moyenne peut bouger fortement. C'est pour cette raison que les revenus et les prix de l'immobilier sont habituellement résumés par la médiane.
Un jeu de données peut-il avoir plusieurs modes ?
Oui. Si deux valeurs ou davantage sont à égalité de fréquence maximale, les données sont multimodales et toutes ces valeurs sont des modes. Par exemple, dans 1, 2, 2, 5, 7, 7, 9, les valeurs 2 et 7 apparaissent chacune deux fois : les données sont bimodales, de modes 2 et 7. Si aucune valeur ne se répète, le jeu de données n'a pas de mode.
Que m'apprend l'étendue ?
L'étendue est le maximum moins le minimum — l'amplitude totale des données. Elle se calcule vite et se lit facilement, mais elle ne mobilise que les deux valeurs les plus extrêmes : une seule valeur aberrante peut donc la gonfler considérablement. Pour une image plus complète de la dispersion, utilisez l'écart type ou l'écart interquartile.
La médiane est-elle toujours une valeur réellement observée ?
Pas toujours. Avec un nombre impair de valeurs, la médiane est l'une des valeurs observées. Avec un nombre pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales, qui peut ne pas figurer dans les données — ainsi, la médiane 10,5 de la liste 3, 7, 9, 12, 14, 21 ne fait partie d'aucune des six observations.
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.