La formule de la cote Z : standardiser une valeur
Une cote Z, aussi appelée score standardisé, convertit une valeur brute en une mesure de la distance qui sépare cette valeur de la moyenne de sa distribution, exprimée en unités d'écart-type plutôt que dans les unités d'origine. La formule est z = (x - moyenne) / écart-type, où x est la valeur à standardiser. Une cote Z de 0 signifie que la valeur est exactement égale à la moyenne ; une cote Z positive signifie que la valeur est au-dessus de la moyenne ; une cote Z négative signifie que la valeur est en dessous de la moyenne.
Standardiser les valeurs de cette façon permet de comparer des mesures issues d'échelles ou de distributions différentes — par exemple, comparer la performance d'un élève à deux tests différents ayant des moyennes et des dispersions différentes, ou comparer un résultat de laboratoire individuel à une plage de référence. Comme la cote Z élimine à la fois les unités et l'échelle d'origine, une cote Z de +1 signifie toujours la même chose sur le plan relatif (un écart-type au-dessus de la moyenne de la distribution dont elle provient), quelle que soit la grandeur mesurée.
Que signifie « deux écarts-types au-dessus de la moyenne » ?
Dire qu'une valeur est deux écarts-types au-dessus de la moyenne revient simplement à dire que sa cote Z est de +2 : la valeur est plus éloignée de la moyenne qu'une observation typique, d'un montant égal à deux fois l'écart-type de la distribution. Comme l'écart-type mesure la dispersion typique des données, une cote Z de 2 ou plus (ou de -2 ou moins) est classiquement considérée comme inhabituelle, puisque relativement peu d'observations dans une distribution à peu près normale se situent aussi loin du centre.
Cette formulation décrit purement une position au sein d'une distribution — elle ne dit pas en soi si être deux écarts-types au-dessus de la moyenne est bon, mauvais ou neutre. Une cote Z de +2 sur une distribution de résultats à un test indique généralement un résultat solide, tandis qu'une cote Z de +2 sur une distribution de tension artérielle indique généralement une mesure bien au-dessus de la normale et méritant une attention clinique. La cote Z rapporte une distance à la moyenne ; l'interprétation de cette distance dépend toujours de ce qui est mesuré.
La distribution normale centrée réduite et les centiles
Lorsque les données sous-jacentes sont approximativement normales (en forme de cloche), une cote Z peut être convertie en centile à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, qui donne la proportion de la distribution se situant en dessous d'une cote Z donnée. Cette conversion est ce qui permet de reformuler une cote Z en « cette valeur est supérieure à environ X % de la distribution ». Le tableau ci-dessous liste les centiles standards et bien établis pour des cotes Z entières de -2 à +3.
| Cote Z | Centile (part de la distribution en dessous) | Part au-dessus |
|---|---|---|
| -2 | 2,28 % | 97,72 % |
| -1 | 15,87 % | 84,13 % |
| 0 | 50,00 % | 50,00 % |
| +1 | 84,13 % | 15,87 % |
| +2 | 97,72 % | 2,28 % |
| +3 | 99,87 % | 0,13 % |
Exemple chiffré : convertir une note brute en centile
Considérons une valeur x = 130 issue d'une distribution de moyenne 100 et d'écart-type 15 (l'échelle classique utilisée pour les scores de QI). Étape 1 : calculer la cote Z, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Étape 2 : rechercher z = 2 dans la distribution normale centrée réduite, ce qui correspond au 97,72e centile, signifiant qu'environ 97,72 % de la distribution se situe à ou en dessous d'une valeur de 130, et qu'environ 2,28 % se situe au-dessus.
Un second exemple sur la même échelle : une valeur x = 85 donne z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1, ce qui correspond au 15,87e centile — signifiant que cette valeur se situe en dessous d'environ 84,13 % de la distribution et au-dessus d'environ 15,87 % de celle-ci. Dans les deux cas, l'ensemble du calcul se réduit à deux étapes : standardiser la valeur en une cote Z, puis lire le centile correspondant sur la distribution normale centrée réduite.
La règle empirique 68-95-99,7
Pour des données approximativement normales, la règle empirique (parfois appelée règle 68-95-99,7) offre un moyen rapide de juger à quel point une cote Z est inhabituelle sans recherche complète de centile : environ 68 % des valeurs se situent à moins d'un écart-type de la moyenne (z entre -1 et +1), environ 95 % se situent à moins de deux écarts-types (z entre -2 et +2), et environ 99,7 % se situent à moins de trois écarts-types (z entre -3 et +3).
Cette règle découle directement du tableau de centiles ci-dessus : la part entre z = -1 et z = +1 est 84,13 % - 15,87 % = 68,26 %, la part entre z = -2 et z = +2 est 97,72 % - 2,28 % = 95,44 %, et la part entre z = -3 et z = +3 est 99,87 % - 0,13 % = 99,74 % — toutes cohérentes avec les approximations couramment citées de 68 %, 95 % et 99,7 %. La règle ne s'applique que lorsque la distribution sous-jacente est approximativement normale ; des données asymétriques ou à queues lourdes peuvent s'écarter sensiblement de ces proportions, même si des cotes Z peuvent toujours être calculées pour elles.
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on une cote Z ?
Soustrayez la moyenne de la valeur, puis divisez par l'écart-type : z = (x - moyenne) / écart-type. Par exemple, une valeur de 130 sur une échelle de moyenne 100 et d'écart-type 15 donne z = (130 - 100) / 15 = 2, ce qui signifie que la valeur se situe deux écarts-types au-dessus de la moyenne.
Quel centile correspond à une cote Z de 2 ?
Environ le 97,72e centile. La distribution normale centrée réduite place environ 97,72 % des valeurs à ou en dessous d'une cote Z de 2, ce qui signifie qu'une valeur ayant cette cote Z est supérieure à environ 97,72 % de la distribution et inférieure à environ 2,28 % de celle-ci, en supposant que les données sous-jacentes sont approximativement normales.
Que signifie être deux écarts-types au-dessus de la moyenne ?
Cela signifie que la valeur a une cote Z de +2 : elle est plus éloignée au-dessus de la moyenne qu'une observation typique, d'un montant égal à deux fois l'écart-type de la distribution. Pour des données approximativement normales, environ 97,72 % de la distribution se situe à ou en dessous de cette valeur, ce qui en fait un résultat relativement peu commun — bien que le fait que cela soit souhaitable ou non dépende entièrement de ce qui est mesuré.
Les cotes Z nécessitent-elles que les données soient normalement distribuées ?
Le calcul de la cote Z lui-même, z = (x - moyenne) / écart-type, est défini pour toute distribution et ne nécessite pas la normalité. Cependant, convertir une cote Z en centile à l'aide de la distribution normale centrée réduite — comme dans les exemples ci-dessus — n'est précis que lorsque les données sous-jacentes sont approximativement normales (en forme de cloche) ; pour des données asymétriques ou à queues lourdes, les centiles doivent plutôt être lus directement dans les données.
Qu'est-ce que la règle 68-95-99,7 ?
C'est un raccourci indiquant la part d'une distribution approximativement normale qui se situe à moins d'un, deux et trois écarts-types de la moyenne : environ 68 % à moins d'un écart-type (z entre -1 et +1), environ 95 % à moins de deux (z entre -2 et +2), et environ 99,7 % à moins de trois (z entre -3 et +3). Elle offre un moyen rapide de juger à quel point une valeur est inhabituelle sans recherche complète de centile.
Références
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).