Ce qu'est un intervalle de confiance
Un intervalle de confiance est une plage de valeurs plausibles pour un paramètre de population inconnu — le plus souvent une moyenne ou une proportion de population — calculée à partir d'un échantillon de données. Il se construit autour d'une estimation ponctuelle, telle qu'une moyenne d'échantillon, et s'étend dans les deux directions d'une marge d'erreur, de sorte que l'intervalle dans son ensemble est conçu pour capturer la vraie valeur de population inconnue un pourcentage précisé du temps si la même procédure d'échantillonnage et de calcul était répétée de nombreuses fois.
Le pourcentage choisi, appelé niveau de confiance, est le plus souvent 90 %, 95 % ou 99 %. Un intervalle plus large offre davantage de confiance qu'il capture la vraie valeur, mais au prix de la précision ; un intervalle plus étroit est plus précis mais s'accompagne d'un niveau de confiance plus faible, ou nécessite un échantillon plus grand pour maintenir le même niveau de confiance. Ce compromis entre précision et confiance est inévitable et il est central pour interpréter correctement tout intervalle rapporté.
L'erreur d'interprétation courante de la « confiance à 95 % »
C'est une erreur d'interprétation courante et bien documentée de lire un intervalle de confiance à 95 % comme signifiant qu'il y a une probabilité de 95 % que la vraie valeur de population se situe dans cet intervalle spécifique déjà calculé. Cette lecture n'est pas techniquement correcte : une fois qu'un intervalle particulier a été calculé à partir d'un échantillon particulier, la vraie valeur de population se trouve soit dedans, soit dehors — il n'y a plus de hasard restant auquel attacher une probabilité pour cet intervalle unique. Les 95 % décrivent le taux de succès à long terme de la méthode utilisée pour construire l'intervalle, à travers de nombreux échantillonnages hypothétiques répétés, et non une déclaration de probabilité sur un intervalle après coup.
Hoekstra et ses collègues (2014), publiant dans Psychonomic Bulletin and Review, ont documenté que cette distinction est largement mal comprise, y compris parmi les chercheurs et les étudiants en statistique, dont beaucoup interprétaient un intervalle de confiance à 95 % comme décrivant directement la probabilité que la vraie valeur se situe dans cet intervalle spécifique. L'interprétation techniquement correcte concerne la fiabilité de la méthode à travers un échantillonnage répété, et non une déclaration de probabilité sur un résultat déjà observé.
La marge d'erreur : l'élément de construction d'un intervalle de confiance
La marge d'erreur est la distance sur laquelle l'intervalle de confiance s'étend de part et d'autre de l'estimation ponctuelle, et elle se calcule comme une valeur critique (z, pour un intervalle basé sur la loi normale) multipliée par l'erreur-type de l'estimation. Pour une moyenne, l'erreur-type est l'écart-type divisé par la racine carrée de la taille de l'échantillon : erreur-type = écart-type / √n. Un échantillon plus grand réduit l'erreur-type, et donc la marge d'erreur et la largeur globale de l'intervalle, proportionnellement à la racine carrée de n.
La valeur critique z dépend du niveau de confiance choisi : 1,6449 pour une confiance de 90 %, 1,96 pour une confiance de 95 %, et 2,5758 pour une confiance de 99 %, chacune représentant le point de la distribution normale centrée réduite qui laisse la probabilité totale correspondante dans les deux queues. Un niveau de confiance plus élevé nécessite une valeur critique plus grande, ce qui élargit la marge d'erreur et donc l'intervalle résultant, toutes choses égales par ailleurs.
Exemple chiffré : construire un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne
Supposons qu'un échantillon de n = 100 observations ait une moyenne de 50 et un écart-type de 8, et qu'un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne de population soit requis. Étape 1 : calculer l'erreur-type, 8 / √100 = 8 / 10 = 0,8. Étape 2 : calculer la marge d'erreur à l'aide de la valeur critique à 95 %, 1,96 x 0,8 = 1,568. Étape 3 : additionner et soustraire la marge d'erreur de la moyenne d'échantillon : 50 - 1,568 = 48,432, et 50 + 1,568 = 51,568.
L'intervalle de confiance à 95 % résultant est de 48,432 à 51,568. L'interprétation correcte est que si cette même procédure d'échantillonnage et de calcul était répétée de nombreuses fois sur de nouveaux échantillons de 100 issus de la même population, environ 95 % des intervalles construits de cette manière contiendraient la vraie moyenne de population — et non qu'il y a une probabilité de 95 % que la vraie moyenne se situe spécifiquement entre 48,432 et 51,568 dans ce cas précis.
Comment le niveau de confiance et la taille de l'échantillon modifient l'intervalle
En maintenant l'échantillon fixe (moyenne 50, écart-type 8, n = 100), le tableau ci-dessous montre comment les mêmes données sous-jacentes produisent des largeurs d'intervalle différentes selon uniquement le niveau de confiance choisi. Une confiance plus élevée élargit toujours l'intervalle, car une méthode plus fiable (qui réussit plus souvent à travers un échantillonnage répété) doit, par construction, couvrir une plage plus large de valeurs plausibles.
| Niveau de confiance | Valeur critique z | Marge d'erreur | Intervalle résultant |
|---|---|---|---|
| 90 % | 1,6449 | 1,316 | 48,684 à 51,316 |
| 95 % | 1,96 | 1,568 | 48,432 à 51,568 |
| 99 % | 2,5758 | 2,061 | 47,939 à 52,061 |
Questions fréquentes
Que signifie réellement un intervalle de confiance à 95 % ?
Cela signifie que si la même procédure d'échantillonnage et de calcul était répétée de nombreuses fois, environ 95 % des intervalles résultants contiendraient la vraie valeur de population. Cela ne signifie pas qu'il y a une probabilité de 95 % que la vraie valeur se situe dans cet intervalle spécifique déjà calculé — une distinction documentée comme une méprise répandue par Hoekstra et ses collègues (2014) dans Psychonomic Bulletin and Review.
Comment calcule-t-on un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne ?
Calculez l'erreur-type (écart-type divisé par la racine carrée de la taille de l'échantillon), multipliez-la par la valeur critique à 95 % de 1,96 pour obtenir la marge d'erreur, puis additionnez et soustrayez cette marge de la moyenne d'échantillon. Pour un échantillon de moyenne 50, d'écart-type 8 et n = 100 : erreur-type = 0,8, marge d'erreur = 1,568, et l'intervalle est de 48,432 à 51,568.
Qu'est-ce qu'une marge d'erreur ?
La marge d'erreur est le montant ajouté et soustrait d'une estimation ponctuelle, telle qu'une moyenne d'échantillon, pour former un intervalle de confiance. Elle se calcule comme une valeur critique (qui dépend du niveau de confiance choisi) multipliée par l'erreur-type de l'estimation. Une marge d'erreur plus grande produit un intervalle plus large et moins précis ; une marge d'erreur plus petite produit un intervalle plus étroit et plus précis.
Pourquoi est-il incorrect de dire qu'il y a une probabilité de 95 % que la vraie valeur soit dans cet intervalle ?
Parce qu'une fois qu'un intervalle spécifique a été calculé à partir d'un échantillon spécifique, la vraie valeur de population se trouve soit dedans, soit dehors — il n'y a plus de hasard restant auquel assigner une probabilité. Les 95 % sont une propriété de la méthode utilisée pour construire l'intervalle, décrivant sa fréquence de succès à travers de nombreux échantillonnages hypothétiques répétés, et non une déclaration de probabilité sur un intervalle unique après qu'il a déjà été calculé.
Un échantillon plus grand rend-il un intervalle de confiance plus étroit ?
Oui. L'erreur-type, et donc la marge d'erreur et la largeur globale de l'intervalle, se calcule en divisant l'écart-type par la racine carrée de la taille de l'échantillon. Comme la taille de l'échantillon intervient sous une racine carrée, quadrupler la taille de l'échantillon divise par deux la largeur de l'intervalle, tandis qu'un échantillon plus petit produit un intervalle proportionnellement plus large et moins précis pour le même niveau de confiance.
Pourquoi un niveau de confiance plus élevé produit-il un intervalle plus large ?
Un niveau de confiance plus élevé, comme 99 % au lieu de 95 %, nécessite une valeur critique plus grande (2,5758 contre 1,96), ce qui augmente la marge d'erreur et élargit l'intervalle résultant. Cela reflète un compromis inévitable : une méthode qui doit réussir plus souvent à travers un échantillonnage répété doit couvrir une plage plus large de valeurs plausibles pour y parvenir.
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.