Comprendre votre résultat en loi normale
Le tableau ci-dessous donne la probabilité cumulée Φ(z) de la loi normale centrée réduite pour des scores z entiers, conformément aux tables standard.
| Score z | Φ(z) — probabilité cumulée en dessous de z |
|---|---|
| −3 | 0,13% |
| −2 | 2,28% |
| −1 | 15,87% |
| 0 | 50,00% |
| +1 | 84,13% |
| +2 | 97,72% |
| +3 | 99,87% |
- Règle empirique : environ 68,27% d'une loi normale se situe à ±1 écart-type de la moyenne, environ 95,45% à ±2 écarts-types et environ 99,73% à ±3 écarts-types.
- En mode « entre », la borne supérieure b doit être supérieure ou égale à x ; le calculateur ne renvoie aucun résultat si b est inférieure à x.
- La loi normale étant continue, la probabilité d'une valeur exacte isolée vaut 0 : seuls les intervalles (en dessous, au-dessus, entre) ont une probabilité non nulle.
- Ces calculs supposent que la variable suit réellement une loi normale. Des données asymétriques, bornées ou à queues lourdes peuvent s'écarter sensiblement de ces probabilités, même si un score z reste calculable.
Qu'est-ce que la loi normale ?
La loi normale (ou loi de Gauss) est une loi de probabilité continue, symétrique et en forme de cloche, entièrement décrite par deux paramètres : sa moyenne (μ), qui fixe le centre, et son écart-type (σ), qui fixe la dispersion. De nombreuses grandeurs naturelles et mesurées — tailles, erreurs de mesure, scores de tests standardisés — sont approximativement normales, d'où la place centrale de cette loi en théorie comme en pratique statistique.
Puisqu'une loi continue attribue une probabilité à des intervalles et non à des points isolés, ce calculateur répond à des questions du type « quelle proportion de valeurs se situe en dessous de x », « au-dessus de x » ou « entre x et b » — jamais « quelle est la probabilité d'obtenir exactement x », toujours nulle pour une loi continue.
Toute loi normale se ramène à la loi normale centrée réduite (moyenne 0, écart-type 1) en calculant un score z, z = (x − μ) / σ. La probabilité associée à un intervalle de valeurs de x se lit alors sur la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, souvent notée Φ(z), qui donne la proportion de la distribution située au niveau de z ou en dessous.
La règle empirique (dite aussi règle 68-95-99,7) résume la dispersion de la loi normale centrée réduite : environ 68,27% des valeurs se situent à moins d'un écart-type de la moyenne, environ 95,45% à moins de deux écarts-types et environ 99,73% à moins de trois écarts-types.
Comment utiliser ce calculateur de loi normale
- Saisissez la moyenne (μ) et l'écart-type (σ) de la distribution. L'écart-type doit être strictement positif.
- Choisissez un mode de calcul : en dessous d'une valeur, au-dessus d'une valeur, ou entre deux valeurs.
- Saisissez la valeur x. En mode « entre », saisissez également la borne supérieure b, qui doit être supérieure ou égale à x.
- Lisez la probabilité (en pourcentage et sous forme de proportion comprise entre 0 et 1), ainsi que le score z correspondant à x.
La formule derrière la probabilité en loi normale
Tout calcul commence par la standardisation de x en un score z : z = (x − μ) / σ. La probabilité se lit ensuite sur la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, Φ(z), qui ne possède pas d'expression analytique simple et s'évalue numériquement.
Mode en dessous : P(X < x) = Φ(z). Mode au-dessus : P(X > x) = 1 − Φ(z). Mode entre : P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), où zᵦ est le score z de la borne supérieure b.
Exemple chiffré (mode en dessous) : moyenne = 100, écart-type = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. La lecture de Φ(1,3333) sur la loi normale centrée réduite donne environ 0,9088, d'où P(X < 120) ≈ 90,88%.
Exemple chiffré (mode entre, loi centrée réduite) : moyenne = 0, écart-type = 1, entre −1 et +1. Le z inférieur vaut −1 et le z supérieur +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, d'où P(−1 < X < 1) ≈ 68,27% — le premier palier de la règle empirique.
Erreurs fréquentes
- Choisir le mauvais mode : « en dessous », « au-dessus » et « entre » donnent des probabilités différentes pour un même x, et les confondre est une source d'erreur fréquente.
- Saisir en mode « entre » une borne supérieure b inférieure à x, ce qui ne constitue pas un intervalle valide pour ce calculateur.
- Attribuer un sens à la probabilité d'une valeur exacte isolée : pour une loi continue comme la loi normale, P(X = x) vaut toujours 0.
- Supposer qu'un jeu de données est normal sans le vérifier : les probabilités renvoyées ici ne sont justes que si la variable sous-jacente est approximativement normale.
- Confondre écart-type et variance : ce calculateur demande l'écart-type (σ), non son carré.
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité en loi normale ?
Convertissez la valeur en score z avec z = (x − moyenne) / écart-type, puis lisez la probabilité cumulée correspondante sur la loi normale centrée réduite. Pour une valeur inférieure à x, utilisez directement Φ(z) ; pour une valeur supérieure à x, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle entre x et b, soustrayez les deux probabilités cumulées.
Qu'est-ce que la règle empirique ?
La règle empirique (règle 68-95-99,7) énonce que, pour une loi normale, environ 68,27% des valeurs se situent à moins d'un écart-type de la moyenne, environ 95,45% à moins de deux écarts-types et environ 99,73% à moins de trois écarts-types.
Qu'est-ce qu'un score z ?
Un score z exprime le nombre d'écarts-types séparant une valeur de la moyenne, calculé par z = (x − moyenne) / écart-type. C'est l'étape intermédiaire par laquelle ce calculateur passe pour lire une probabilité sur la loi normale centrée réduite.
Pourquoi la probabilité d'une valeur exacte vaut-elle toujours 0 ?
La loi normale est continue : la probabilité n'y est définie que sur des intervalles, non sur des points isolés. Demander P(X = 120) exactement donne mathématiquement 0 ; les questions qui ont un sens sont P(X < 120), P(X > 120) ou P(a < X < b).
Ce calculateur convient-il à n'importe quel jeu de données ?
Seulement si la variable sous-jacente est approximativement normale. Beaucoup de variables réelles le sont, mais des données asymétriques, bornées (effectifs ou proportions, par exemple) ou à queues lourdes peuvent produire des probabilités trompeuses si on les force dans ce cadre.
Quelle différence entre les modes « en dessous » et « entre » ?
Le mode « en dessous » renvoie la probabilité cumulée jusqu'à une valeur unique x, soit P(X < x). Le mode « entre » renvoie la probabilité de tomber dans un intervalle, P(x < X < b), qui est la différence de deux probabilités cumulées et exige donc à la fois une valeur basse x et une borne supérieure b.
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).