Comprendre votre résultat en loi binomiale
Le tableau ci-dessous récapitule la définition de chaque mode de calcul et les situations où il convient.
| Mode | Question posée | Formule |
|---|---|---|
| Exactement k | Quelle est la probabilité d'obtenir exactement k succès ? | P(X = k) |
| Au plus k | Quelle est la probabilité d'obtenir k succès ou moins ? | P(X ≤ k) |
| Au moins k | Quelle est la probabilité d'obtenir k succès ou plus ? | P(X ≥ k) |
- Une règle empirique couramment citée dans les manuels de statistique veut que la loi binomiale puisse être raisonnablement approchée par une loi normale dès lors que n × p et n × (1 − p) valent au moins 5, une correction de continuité améliorant encore l'approximation.
- Le modèle binomial exige des essais indépendants et une probabilité de succès constante ; un tirage sans remise dans une population finie de petite taille rompt l'indépendance et appelle plutôt la loi hypergéométrique.
- k doit être un entier compris entre 0 et n inclus ; des valeurs non entières ou hors de cette plage ne constituent pas des issues binomiales valides.
- Les événements « au plus k » et « au moins k + 1 » sont complémentaires et somment à 100% (de même, « au plus k − 1 » et « au moins k » somment à 100%).
Qu'est-ce que la loi binomiale ?
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus sur un nombre fixe d'essais indépendants (n), chacun ayant la même probabilité de succès (p) et seulement deux issues possibles : succès ou échec. Parmi les exemples classiques figurent le nombre de faces sur un nombre fixe de lancers de pièce, ou le nombre de pièces défectueuses dans un échantillon fixe issu d'une ligne de production, à condition que la probabilité de succès reste constante d'un essai à l'autre.
La loi est discrète : le nombre de succès k ne peut prendre que des valeurs entières comprises entre 0 et n. Sa forme dépend à la fois de n et de p — symétrique lorsque p = 0,5, et d'autant plus asymétrique que p s'approche de 0 ou de 1.
Les deux hypothèses fondatrices sont l'indépendance (l'issue d'un essai n'influe pas sur les autres) et la constance de la probabilité de succès sur l'ensemble des essais. Lorsque les tirages s'effectuent sans remise dans une population finie de petite taille, ces hypothèses peuvent être violées et la loi hypergéométrique devient plus appropriée.
Comment utiliser ce calculateur de loi binomiale
- Saisissez le nombre d'essais, n.
- Saisissez la probabilité de succès par essai, p, en pourcentage.
- Saisissez le nombre de succès, k (un entier compris entre 0 et n).
- Choisissez un mode — exactement k succès, au plus k succès ou au moins k succès — puis lisez la probabilité obtenue, ainsi que l'espérance et l'écart-type de la distribution.
La formule derrière la probabilité binomiale
La probabilité d'obtenir exactement k succès sur n essais est donnée par la fonction de masse binomiale : P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, où C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) est le nombre de façons de choisir k succès parmi n essais.
Le mode « au plus k » somme cette probabilité pour toutes les issues de 0 à k ; le mode « au moins k » la somme de k à n (ce qui revient à 1 moins la probabilité d'au plus k − 1).
L'espérance de la distribution (nombre moyen de succès) vaut n × p, et son écart-type √(n × p × (1 − p)).
Exemple chiffré : n = 20 essais, p = 50%, exactement k = 8 succès. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ 12,01%. L'espérance vaut 20 × 0,5 = 10 et l'écart-type √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la loi binomiale pour des essais non indépendants ou dont la probabilité de succès change d'un essai à l'autre, comme un tirage sans remise dans une petite population.
- Se tromper d'une unité entre les modes : « au moins 4 » n'est pas le complémentaire d'« au plus 4 » ; le complémentaire d'« au plus 4 » est « au moins 5 ».
- Saisir la probabilité de succès sous forme décimale (0,5) au lieu d'un pourcentage (50) là où le champ attend un pourcentage.
- Appliquer la loi binomiale à une issue continue, ou à un décompte comportant plus de deux résultats possibles par essai (qui relève alors d'un modèle multinomial).
- Oublier que la loi binomiale suppose un p constant sur les n essais : une probabilité qui dérive dans le temps invalide le modèle.
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité binomiale ?
Utilisez P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, où n est le nombre d'essais, p la probabilité de succès et C(n, k) le nombre de façons d'agencer k succès parmi n essais. Pour « au plus » ou « au moins », sommez cette formule sur la plage de valeurs de k concernée.
Quelles conditions faut-il réunir pour utiliser la loi binomiale ?
Le nombre d'essais (n) doit être fixé, chaque essai ne doit avoir que deux issues possibles (succès ou échec), la probabilité de succès (p) doit rester constante d'un essai à l'autre, et les essais doivent être indépendants les uns des autres.
Quel est le nombre attendu de succès ?
L'espérance (moyenne) d'une loi binomiale vaut n × p. Par exemple, avec 20 essais et une probabilité de succès de 50%, le nombre attendu de succès est 20 × 0,5 = 10.
Quelle différence entre « exactement », « au plus » et « au moins » ?
« Exactement k » désigne la probabilité d'obtenir précisément k succès. « Au plus k » somme les probabilités de 0 à k succès. « Au moins k » somme les probabilités de k à n succès ; cela équivaut à 1 moins la probabilité d'au plus k − 1 succès.
Quand une loi normale peut-elle approcher une loi binomiale ?
Une règle empirique courante veut que l'approximation soit raisonnable dès lors que n × p et n × (1 − p) valent au moins 5. En dehors de ce cadre, en particulier pour un n petit ou un p éloigné de 0,5, le calcul binomial exact reste plus fiable.
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).