Quelle moyenne choisir ?
Chaque moyenne répond à une question différente. Le tableau ci-dessous résume les situations où chacune s'impose.
| Moyenne | À utiliser quand les valeurs se combinent par | Applications courantes |
|---|---|---|
| Arithmétique | Addition | Notes, tailles, températures, moyennes générales |
| Géométrique | Multiplication | Taux de croissance, rendements de placement, rapports, indices |
| Harmonique | Inverses (taux) | Vitesse moyenne sur des distances égales, ratios cours/bénéfice, résistances en parallèle |
- Les moyennes géométrique et harmonique ne sont définies que pour des valeurs toutes positives. Ce calculateur les omet lorsque la liste contient des zéros ou des nombres négatifs.
- Pour tout jeu de données strictement positives, moyenne arithmétique >= moyenne géométrique >= moyenne harmonique, l'égalité n'ayant lieu que si toutes les valeurs sont égales (inégalité MA-MG-MH).
- Faire la moyenne arithmétique de taux de croissance en pourcentage surestime la croissance cumulée ; la moyenne géométrique des facteurs de croissance donne, elle, le taux constant équivalent correct.
Que sont les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique ?
La moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par leur nombre. C'est la moyenne adaptée aux grandeurs qui se combinent par addition — tailles, notes ou températures — et c'est ce que la plupart des gens entendent par « la moyenne ».
La moyenne géométrique est la racine n-ième du produit de n valeurs positives. Elle convient aux grandeurs qui se combinent par multiplication, comme les taux de croissance et les rapports : la moyenne géométrique des facteurs de croissance annuels donne le taux constant qui produirait la même croissance globale. Elle n'est définie que pour des données toutes positives, puisqu'un zéro annule le produit et que des valeurs négatives peuvent rendre la racine non réelle.
La moyenne harmonique est l'effectif divisé par la somme des inverses des valeurs. Elle convient aux taux dont le numérateur est fixe, le cas classique étant la vitesse moyenne sur des distances égales. Comme la moyenne géométrique, elle exige des valeurs toutes positives. Pour tout jeu de données strictement positives, les trois moyennes vérifient l'inégalité suivante : arithmétique >= géométrique >= harmonique, l'égalité n'ayant lieu que si toutes les valeurs sont identiques.
Comment utiliser ce calculateur de moyennes
- Saisissez vos nombres séparés par ;, par exemple : 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Lisez la moyenne arithmétique, toujours affichée.
- Si toutes les valeurs sont positives, lisez également les moyennes géométrique et harmonique ; elles ne sont pas définies lorsque la liste contient des zéros ou des valeurs négatives, et sont alors omises.
- Choisissez la moyenne qui correspond à votre problème : arithmétique pour des grandeurs additives, géométrique pour des taux de croissance et des rapports, harmonique pour des taux tels que des vitesses sur des distances égales.
Les formules des trois moyennes
Moyenne arithmétique : additionnez les n valeurs et divisez par n. Moyenne géométrique : multipliez les n valeurs et prenez la racine n-ième (en pratique, on la calcule comme l'exponentielle de la moyenne des logarithmes). Moyenne harmonique : divisez n par la somme des inverses.
Exemple chiffré avec les valeurs 1, 4, 16. Arithmétique : (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Géométrique : le produit vaut 1 x 4 x 16 = 64, et la racine cubique de 64 vaut 4. Harmonique : 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, soit environ 2,285714. Remarquez que 7 >= 4 >= 2,285714, ce qui illustre l'inégalité arithmétique-géométrique-harmonique.
Exemple de vitesse pour la moyenne harmonique : parcourir la même distance à 30 km/h puis à 60 km/h donne une vitesse moyenne de 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, et non les 45 km/h de la moyenne arithmétique, puisque davantage de temps est passé à la vitesse la plus lente.
Erreurs fréquentes
- Employer la moyenne arithmétique pour des taux de croissance : une année à +50 % suivie d'une année à -50 % donne 0 % en moyenne arithmétique, alors que le placement a perdu 25 % au total ; la moyenne géométrique des facteurs 1,5 et 0,5 (environ 0,866) reflète la véritable variation moyenne.
- Faire la moyenne arithmétique de vitesses sur des distances égales — des tronçons de même longueur appellent la moyenne harmonique.
- Appliquer la moyenne géométrique ou harmonique à des données contenant des zéros ou des valeurs négatives, où elles ne sont pas définies.
- S'attendre à ce que les trois moyennes coïncident — elles ne le font que si toutes les valeurs de la liste sont identiques.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique ?
La moyenne arithmétique additionne les valeurs et divise par leur nombre ; la moyenne géométrique multiplie les valeurs et en prend la racine n-ième. La première convient aux grandeurs qui se combinent par addition, la seconde à celles qui se combinent par multiplication, comme des facteurs de croissance. Pour les valeurs 1, 4 et 16, la moyenne arithmétique vaut 7 et la moyenne géométrique 4.
Quand faut-il utiliser la moyenne harmonique ?
Utilisez la moyenne harmonique pour moyenner des taux dont le numérateur est fixe — le cas classique étant la vitesse moyenne sur des distances égales. Parcourir la même distance à 30 km/h puis à 60 km/h donne 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, et non 45 km/h, puisque davantage de temps est passé à la vitesse la plus lente. La moyenne harmonique sert aussi à moyenner des ratios cours/bénéfice et à combiner des résistances électriques en parallèle.
Pourquoi ce calculateur n'affiche-t-il parfois que la moyenne arithmétique ?
Les moyennes géométrique et harmonique ne sont définies que si toutes les valeurs de la liste sont positives. Un zéro annule la moyenne géométrique et rend la moyenne harmonique indéfinie (division par zéro), tandis que des valeurs négatives peuvent rendre non réelle la racine n-ième du produit. Lorsque la liste contient des zéros ou des valeurs négatives, seule la moyenne arithmétique est présentée.
Pourquoi la moyenne géométrique convient-elle aux rendements de placement ?
Les rendements se composent de façon multiplicative. Si un portefeuille progresse d'un facteur 1,5 (hausse de 50 %) puis 0,5 (baisse de 50 %) sur deux années consécutives, le facteur global vaut 1,5 x 0,5 = 0,75. La moyenne géométrique des facteurs, √0,75, soit environ 0,866, est le facteur annuel constant produisant le même résultat — une perte moyenne d'environ 13,4 % par an, que la moyenne arithmétique de 0 % ignore totalement.
La moyenne arithmétique est-elle toujours la plus grande des trois ?
Pour des jeux de données de nombres positifs, oui : la moyenne arithmétique est supérieure ou égale à la moyenne géométrique, elle-même supérieure ou égale à la moyenne harmonique. L'égalité ne survient que si toutes les valeurs sont identiques. C'est l'inégalité MA-MG-MH, un résultat classique de l'algèbre.
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).