Comprendre les quatre résultats
Le tableau ci-dessous reprend chaque sortie pour l'exemple P(A) = 50% et P(B) = 30%, sous hypothèse d'indépendance.
| Résultat | Formule | Valeur de l'exemple |
|---|---|---|
| A et B tous deux | P(A) x P(B) | 0,5 x 0,3 = 15% |
| Au moins l'un (A ou B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0,5 + 0,3 - 0,15 = 65% |
| A ne se produit pas | 1 - P(A) | 1 - 0,5 = 50% |
| Aucun ne se produit | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0,5 x 0,7 = 35% |
- Tous les résultats supposent A et B indépendants. Si les événements s'influencent mutuellement, ces formules tombent et il faut recourir aux probabilités conditionnelles.
- « Au moins l'un se produit » et « aucun ne se produit » sont complémentaires : leurs probabilités totalisent toujours 100%.
- Une probabilité décrit une fréquence sur le long terme, au fil de nombreuses répétitions : une chance de 15% ne signifie pas que l'événement surviendra exactement 15 fois sur les 100 essais suivants.
Qu'est-ce que la probabilité d'événements combinés ?
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%) qui exprime la vraisemblance d'un événement : 0 signifie impossible, 1 signifie certain. Dès que l'on considère deux événements ensemble, les règles usuelles du calcul des probabilités déterminent comment leurs probabilités individuelles se combinent pour donner celle de résultats conjoints, tels que « les deux se produisent » ou « au moins l'un se produit ».
Ce calculateur suppose les deux événements indépendants : savoir que l'un s'est réalisé ne vous apprend rien sur la réalisation de l'autre. Lancers de pièce, jets de dés distincts et tirages aléatoires sans lien sont les exemples classiques d'indépendance. Sous cette hypothèse, la probabilité que les deux événements se produisent est simplement le produit de leurs probabilités individuelles : P(A et B) = P(A) x P(B).
L'hypothèse d'indépendance est essentielle et doit être confrontée à la situation réelle plutôt que posée par défaut. Tirer deux cartes du même jeu sans remise, ou observer deux phénomènes météorologiques le même jour, relève de la dépendance : le premier résultat modifie les probabilités du second, si bien que la règle du produit sous-estime ou surestime alors la vraie probabilité conjointe. Pour des événements dépendants, il faut passer par les probabilités conditionnelles : P(A et B) = P(A) x P(B sachant A).
Comment utiliser ce calculateur de probabilité
- Saisissez la probabilité de l'événement A en pourcentage, entre 0 et 100 : par exemple 50 pour une pièce équilibrée tombant sur pile.
- Saisissez la probabilité de l'événement B en pourcentage, par exemple 30.
- Vérifiez que les deux événements sont réellement indépendants : la réalisation de l'un ne doit pas modifier les chances de l'autre. Les formules employées ici ne valent que sous cette hypothèse.
- Lisez les quatre probabilités combinées : les deux se produisent, au moins l'un se produit, A ne se produit pas, aucun ne se produit.
Règles de probabilité pour des événements indépendants
Règle du produit (les deux se produisent) : pour des événements indépendants, P(A et B) = P(A) x P(B). Règle du complémentaire : P(non A) = 1 - P(A). Aucun ne se produit : P(aucun) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), ce qui applique la règle du produit aux deux complémentaires. Au moins l'un se produit (inclusion-exclusion) : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B).
Exemple détaillé avec P(A) = 50% et P(B) = 30%, soit 0,5 et 0,3. Les deux : 0,5 x 0,3 = 0,15, soit 15%. Au moins l'un : 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, soit 65%. Non A : 1 - 0,5 = 0,5, soit 50%. Aucun : 0,5 x 0,7 = 0,35, soit 35%. Comme contrôle de cohérence, « au moins l'un » et « aucun » sont complémentaires : 65% + 35% = 100%.
La soustraction de P(A et B) dans la formule du « au moins l'un » évite un double comptage : les issues où les deux événements se produisent seraient sinon comptées une fois dans P(A), puis une seconde fois dans P(B).
Erreurs fréquentes
- Additionner les probabilités pour « A ou B » sans retrancher le recouvrement : P(A) + P(B) compte deux fois les issues où les deux se produisent, et peut même dépasser 100%.
- Multiplier les probabilités d'événements dépendants comme s'ils étaient indépendants ; le tirage de cartes sans remise en est le contre-exemple classique.
- Le sophisme du joueur : traiter des épreuves indépendantes comme si les résultats passés modifiaient les probabilités futures. Une pièce équilibrée tombée cinq fois sur pile conserve 50% de chances de retomber sur pile.
- Confondre « les deux se produisent » et « au moins l'un se produit » : pour P(A) = 50% et P(B) = 30%, il s'agit de 15% et de 65%, deux grandeurs très différentes.
Questions fréquentes
Que signifie l'indépendance de deux événements ?
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre, ce qui s'écrit formellement P(A et B) = P(A) x P(B). Des lancers de pièce distincts et des jets de dés sans lien sont indépendants ; tirer deux cartes du même jeu sans remise ne l'est pas, puisque le premier tirage modifie la composition du jeu.
Comment calculer la probabilité que les deux événements se produisent ?
Pour des événements indépendants, multipliez les probabilités individuelles : P(A et B) = P(A) x P(B). Avec P(A) = 50% et P(B) = 30%, la probabilité que les deux se produisent vaut ainsi 0,5 x 0,3 = 0,15, soit 15%. Cette règle du produit n'est valable que sous hypothèse d'indépendance.
Comment calculer la probabilité qu'au moins un événement se produise ?
Appliquez la règle d'inclusion-exclusion : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B). Avec des événements indépendants à 50% et 30%, cela donne 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, soit 65%. De façon équivalente, calculez 1 moins la probabilité qu'aucun ne se produise : 1 - (0,5 x 0,7) = 0,65.
Pourquoi ne peut-on pas simplement additionner les deux probabilités pour « A ou B » ?
Parce que les issues où les deux événements se produisent seraient comptées deux fois, une fois dans P(A) et une fois dans P(B). Additionner 50% et 30% donne 80%, tandis que la bonne réponse pour des événements indépendants est 65% une fois retranché le recouvrement de 15%. L'addition simple ne vaut que pour des événements incompatibles, qui par définition ne peuvent pas se produire ensemble.
Que faire si mes événements ne sont pas indépendants ?
Ces formules ne s'appliquent plus. Pour des événements dépendants, la probabilité conjointe fait intervenir une probabilité conditionnelle : P(A et B) = P(A) x P(B sachant A), où P(B sachant A) désigne la probabilité de B une fois A avéré. Ainsi, la chance de tirer deux as d'un jeu de 52 cartes sans remise vaut (4/52) x (3/51), et non (4/52) x (4/52).
Références
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.