La pregunta clave: ¿importa el orden?
Las permutaciones y las combinaciones cuentan ambas el número de formas de elegir r elementos de un grupo de n elementos distintos, pero responden a dos preguntas diferentes. Una permutación cuenta el número de formas de elegir y ordenar r elementos, de modo que dos selecciones que contienen los mismos elementos en un orden distinto se cuentan como dos resultados separados. Una combinación cuenta solo el número de formas de elegir r elementos, de modo que dos selecciones que contienen los mismos elementos se cuentan como un único resultado sin importar el orden en que se eligieron.
Una forma sencilla de decidir cuál aplica: imagina dos selecciones que usan exactamente los mismos elementos pero los listan u ordenan de forma distinta. Si esas dos selecciones representan resultados del mundo real genuinamente diferentes —clasificaciones distintas, contraseñas distintas, órdenes de llegada distintos en una carrera—, el orden importa y una permutación es el recuento correcto. Si esas dos selecciones representan el mismo resultado del mundo real —el mismo comité, la misma mano de cartas, el mismo conjunto de números de lotería—, el orden no importa y una combinación es el recuento correcto.
Las fórmulas: nPr y nCr, con un ejemplo verificado
El número de permutaciones de r elementos elegidos de n elementos distintos es nPr = n! / (n − r)!, y el número de combinaciones es nCr = n! / [r! (n − r)!]: la fórmula de combinación es la fórmula de permutación dividida por r!, porque dividir por r! elimina las r! ordenaciones distintas de cada grupo de mismos elementos que el recuento de permutaciones trata como separadas.
Ejemplo resuelto: elegir 3 elementos de un grupo de 7. Permutaciones: 7P3 = 7! / (7−3)! = 7 × 6 × 5 = 210. Combinaciones: 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35. El recuento de combinaciones es exactamente el recuento de permutaciones dividido por 3! = 6, lo que confirma la relación nCr = nPr / r!.
| Cantidad | Fórmula | Valor para n=7, r=3 |
|---|---|---|
| Permutaciones (el orden importa) | nPr = n! / (n − r)! | 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210 |
| Combinaciones (el orden no importa) | nCr = n! / [r!(n − r)!] | 7C3 = 210 / 3! = 35 |
Con repetición frente a sin repetición
Ambas fórmulas anteriores suponen que cada uno de los n elementos puede seleccionarse como máximo una vez: muestreo sin repetición. Cuando los elementos pueden reutilizarse (muestreo con repetición, también llamado muestreo con reemplazo), las fórmulas de recuento cambian. Las permutaciones con repetición permitida simplemente elevan n a la potencia r, ya que cada una de las r posiciones dispone de forma independiente de las n opciones, sin importar lo que se eligió antes: n^r.
Las combinaciones con repetición permitida usan una fórmula distinta, C(n + r − 1, r), que cuenta el número de formas de elegir r elementos de n tipos cuando se permiten repeticiones y el orden sigue sin importar; este es un caso menos frecuente, pero surge, por ejemplo, al elegir bolas de helado de n sabores donde el mismo sabor puede escogerse más de una vez.
| Caso | Fórmula | Ejemplo típico |
|---|---|---|
| Permutaciones, sin repetición | n! / (n − r)! | Clasificar 3 ganadores de 7 finalistas |
| Permutaciones, con repetición | n^r | Un PIN de 4 dígitos donde los dígitos pueden repetirse |
| Combinaciones, sin repetición | n! / [r!(n − r)!] | Elegir 6 números para un boleto de lotería |
| Combinaciones, con repetición | (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!] | Elegir 3 bolas de 5 sabores de helado, con repetición permitida |
Ejemplos resueltos: un código PIN y un boleto de lotería
Un PIN de 4 dígitos, donde cada una de las 4 posiciones puede ser cualquier dígito 0–9 y los dígitos pueden repetirse (la regla habitual de los PIN bancarios), es un ejemplo de permutaciones con repetición: el orden importa (1234 y 4321 son PIN distintos) y la repetición está permitida, lo que da 10^4 = 10.000 PIN posibles. Si en cambio no se permitieran los dígitos repetidos, el recuento bajaría al valor de permutación sin repetición, 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 —menos posibilidades, porque cada dígito usado elimina una opción para las posiciones restantes.
Un formato clásico de lotería que extrae 6 números de un conjunto de 49, sin que ningún número se repita y sin que el orden de extracción influya en si un boleto gana, es un ejemplo de combinaciones sin repetición: C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13.983.816. Esta cifra tan grande es exactamente la razón por la que estos formatos de lotería se describen como juegos de probabilidades muy bajas: un recuento de combinaciones crece muy rápido a medida que n crece respecto a r, ya que cuenta grupos no ordenados de un conjunto grande y no un número pequeño y fijo de ordenaciones.
Una forma rápida de recordar qué fórmula usar
«Permutación» y «posición» empiezan ambas por P, y una ayuda útil para la memoria es que a las permutaciones les importa la posición: en qué lugar de la secuencia cae cada elemento. «Combinación» describe un grupo combinado, como el contenido de una bolsa o un comité, donde solo importa la pertenencia, no la secuencia en que se añadieron los miembros.
Las contraseñas, los PIN, las clasificaciones de carreras y cualquier disposición de asientos o de horarios son problemas de permutación, porque intercambiar el orden cambia el resultado. Las manos de cartas, los conjuntos de números de lotería, las composiciones de comités y cualquier selección de un grupo no ordenado son problemas de combinación, porque los miembros son lo único que importa, no la secuencia en que se eligieron.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?
Una permutación cuenta ordenaciones en las que el orden importa, así que elegir los mismos elementos en un orden distinto cuenta como un resultado diferente. Una combinación cuenta selecciones en las que el orden no importa, así que los mismos elementos en cualquier orden cuentan como un único resultado. Ambas parten del mismo grupo de n elementos y consisten en elegir r de ellos, pero un recuento de permutaciones siempre es mayor o igual que el recuento de combinaciones correspondiente para los mismos n y r.
¿Cuánto vale 7P3 y cómo se calcula?
7P3 es igual a 210, el número de formas de elegir y ordenar 3 elementos de un grupo de 7 elementos distintos cuando el orden importa. Se calcula como 7P3 = 7! / (7 − 3)! = 7 × 6 × 5 = 210, multiplicando los tres factores mayores de 7! ya que los factores menores se cancelan con (7−3)! en el denominador.
¿Cuánto vale 7C3 y cómo se calcula?
7C3 es igual a 35, el número de formas de elegir 3 elementos de un grupo de 7 elementos distintos cuando el orden no importa. Se calcula como 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35 —exactamente el recuento de permutaciones, 7P3 = 210, dividido por 3! (el número de formas de reordenar cada grupo de 3), ya que las combinaciones colapsan todas las ordenaciones del mismo grupo en un único resultado.
¿Por qué los PIN usan permutaciones y las loterías usan combinaciones?
Un PIN trata 1234 y 4321 como códigos distintos, así que el orden de los dígitos cambia el resultado, lo que es un escenario de permutación —con repetición permitida para un PIN típico de 4 dígitos, lo que da 10^4 = 10.000 posibilidades. Un boleto de lotería gana solo en función de qué números se extrajeron, no del orden en que salieron, así que dos extracciones con los mismos números en un orden distinto son el mismo resultado ganador, lo que es un escenario de combinación —para un formato de 6 de 49, C(49,6) = 13.983.816 conjuntos posibles de números.
¿Qué significa «con repetición» en una fórmula de permutación o combinación?
Significa que un elemento puede seleccionarse más de una vez dentro del mismo resultado. Las permutaciones con repetición permitida usan n^r (cada una de las r posiciones dispone de forma independiente de las n opciones), mientras que las combinaciones con repetición permitida usan (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!]. Sin repetición, cada elemento puede usarse como máximo una vez, que es lo que suponen las fórmulas estándar nPr y nCr.
Referencias
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018 (permutations, combinations, and counting with repetition).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (combinatorial counting methods).
- Weisstein EW. "Permutation" and "Combination." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.