Elegir la fórmula adecuada: orden y repetición
Existen cuatro fórmulas de recuento distintas, según la respuesta a dos preguntas independientes: ¿importa el orden? y ¿se permite repetir?
| ¿Importa el orden? | ¿Se permite repetir? | Fórmula | Situación de ejemplo |
|---|---|---|---|
| Sí | No | nPr = n! ÷ (n − r)! | Repartir 1.º, 2.º y 3.º puesto entre 7 corredores |
| Sí | Sí | nʳ | Crear un PIN de 3 cifras con dígitos 0–6, con repeticiones |
| No | No | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | Elegir un comité de 3 personas entre 7 |
| No | Sí | C(n+r−1, r) | Elegir 3 bolas entre 7 sabores de helado, con repeticiones |
- Para los mismos n y r, nCr siempre es menor o igual que nPr (en concreto, nCr = nPr ÷ r!), porque las combinaciones reducen a un único recuento las r! ordenaciones de un mismo grupo de elementos.
- Cuando r = 0, tanto nPr como nCr valen 1 por convenio: existe exactamente una manera de no seleccionar nada (la selección vacía).
- Cuando r = n y no hay repetición, nPr = n! y nCr = 1: solo hay una forma de «elegir» los n elementos como conjunto sin orden, pero n! maneras de ordenarlos todos.
¿Qué son las permutaciones y las combinaciones?
Una permutación es una ordenación de elementos en la que el orden importa. El número de permutaciones de r elementos escogidos entre n elementos distintos (sin repetición) se escribe nPr y cuenta disposiciones del tipo «primer puesto, segundo puesto, tercer puesto», donde intercambiar dos elementos seleccionados da lugar a un resultado diferente.
Una combinación es una selección de elementos en la que el orden no importa. El número de combinaciones de r elementos escogidos entre n distintos se escribe nCr (también «n sobre r», o coeficiente binomial) y cuenta agrupaciones como un comité o una mano de cartas, en las que los mismos elementos en otro orden se consideran el mismo resultado.
La pregunta decisiva es siempre la misma: ¿reordenar los elementos escogidos da un resultado distinto? Si la respuesta es sí (repartir medallas de oro, plata y bronce, u ordenar libros en un estante), se usan permutaciones. Si es no (elegir un comité de tres personas o recibir una mano de cartas), se usan combinaciones. Esta calculadora informa además de las variantes «con repetición», aplicables cuando un mismo elemento puede escogerse más de una vez (los dígitos de un PIN, o las bolas de un helado cuando se permite repetir sabor).
Cómo usar esta calculadora de permutaciones y combinaciones
- Introduce n, el número total de elementos distintos disponibles.
- Introduce r, la cantidad de elementos que se seleccionan u ordenan. r debe ser menor o igual que n: si r supera a n, la calculadora no devuelve ningún resultado, tampoco los que permiten repetición.
- Consulta las permutaciones (nPr) si el orden de selección importa y no se permite repetir, o las combinaciones (nCr) si el orden es irrelevante y tampoco se repite.
- Cuando el mismo elemento pueda escogerse más de una vez, usa los resultados «con repetición» en lugar de los valores estándar de nPr y nCr.
Las fórmulas de permutaciones y combinaciones
El número de permutaciones de r elementos escogidos entre n, sin repetición, es nPr = n! ÷ (n − r)!, equivalente al producto de r enteros consecutivos decrecientes a partir de n. Ejemplo resuelto con n = 7 y r = 3: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210, esto es, las maneras de repartir un primer, un segundo y un tercer premio distintos entre 7 participantes.
El número de combinaciones de r elementos escogidos entre n, sin repetición, es nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Al dividir se descartan las r! ordenaciones posibles de cada grupo seleccionado, dado que las combinaciones no distinguen el orden. Ejemplo resuelto con n = 7 y r = 3: 7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35, los comités distintos de tres personas que pueden formarse con 7 candidatos.
Las permutaciones con repetición (cada una de las r posiciones puede ocuparla cualquiera de los n elementos, de forma independiente) se reducen a nʳ. Con n = 7 y r = 3: 7³ = 343, por ejemplo los códigos distintos de tres cifras que pueden formarse con los dígitos del 0 al 6 permitiendo repeticiones. Las combinaciones con repetición emplean la fórmula de «estrellas y barras», C(n + r − 1, r). Con n = 7 y r = 3: C(9, 3) = 84, por ejemplo las formas de elegir 3 bolas de helado entre 7 sabores cuando se pueden repetir sabores y el orden da igual.
Errores frecuentes
- Usar la fórmula de permutaciones cuando el orden en realidad no importa, o al revés: antes de decidir, comprueba si intercambiar dos elementos seleccionados cambia el resultado.
- Olvidar comprobar si se permite repetir: «elegir un PIN» (las cifras pueden repetirse) requiere una fórmula distinta de «repartir cartas de una baraja» (sin repetición, las cartas no vuelven al mazo).
- Aplicar nPr o nCr con r mayor que n cuando no se permite repetir: eso no está definido, porque no puedes seleccionar más elementos distintos de los que hay en el conjunto sin repetir alguno.
- Confundir las «combinaciones con repetición» (la fórmula de estrellas y barras) con el nCr corriente: dan resultados muy distintos y se aplican a situaciones diferentes.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre una permutación y una combinación?
Una permutación cuenta ordenaciones en las que el orden importa (nPr = n! ÷ (n−r)!), como al establecer el 1.º, 2.º y 3.º puesto. Una combinación cuenta selecciones en las que el orden es irrelevante (nCr = n! ÷ (r!(n−r)!)), como al formar un comité. Con n = 7 y r = 3: 7P3 = 210 con orden, pero 7C3 = 35 sin él, porque cada grupo de 3 personas admite 3! = 6 ordenaciones distintas y 210 ÷ 6 = 35.
¿Cómo se calcula nCr (n sobre r)?
Con la fórmula nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Para n = 7 y r = 3: 7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 5040 ÷ 144 = 35. También puedes calcular primero nPr (7 × 6 × 5 = 210) y dividir entre r! (3! = 6): 210 ÷ 6 = 35.
¿Cómo se calcula nPr?
Con la fórmula nPr = n! ÷ (n − r)!, que se simplifica al producto de r enteros consecutivos decrecientes a partir de n. Para n = 7 y r = 3: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210.
¿Cuándo debo permitir la repetición en un problema de permutaciones o combinaciones?
Cuando un mismo elemento pueda seleccionarse más de una vez dentro de un único resultado: las cifras de un PIN, o los sabores de helado si el cliente puede repetir sabor en varias bolas. No la permitas cuando cada elemento solo pueda usarse una vez, como al repartir cartas distintas o al asignar personas concretas a puestos concretos.
¿Cuánto vale nPr cuando r es igual a n?
Cuando r = n (se ordenan los n elementos sin repetición), nPr se simplifica a n! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n!. Representa el total de maneras de colocar en fila los n elementos distintos: 5 elementos, por ejemplo, admiten 5! = 120 ordenaciones.
¿Qué significa «estrellas y barras» en las combinaciones con repetición?
Es la técnica combinatoria estándar para contar combinaciones con repetición, de la que sale la fórmula C(n + r − 1, r). Consiste en representar los r elementos escogidos como «estrellas» separadas por «barras» que marcan las fronteras entre las n categorías, y contar después las disposiciones de estrellas y barras. Para n = 7 y r = 3: C(9, 3) = 84.
Referencias
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)