Die Diskriminante verstehen
Die Diskriminante D = b^2 - 4ac bestimmt Anzahl und Art der Lösungen, ohne dass die Gleichung gelöst werden muss.
| Diskriminante | Lösungen | Geometrische Bedeutung |
|---|---|---|
| D > 0 | Zwei verschiedene reelle Lösungen | Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei Punkten |
| D = 0 | Eine doppelte reelle Lösung, x = -b / (2a) | Die Parabel berührt die x-Achse in ihrem Scheitelpunkt |
| D < 0 | Zwei konjugiert komplexe Lösungen p ± qi | Die Parabel schneidet die x-Achse nicht |
- Nach dem Satz von Vieta erfüllen die beiden Lösungen x1 + x2 = -b / a und x1 x x2 = c / a — eine schnelle Kontrolle jeder Lösung.
- Ist a = 0, so ist die Gleichung linear und nicht quadratisch, und die Lösungsformel ist nicht anwendbar; dieser Rechner setzt ein a ungleich null voraus.
- Komplexe Lösungen einer reellen quadratischen Gleichung treten stets als konjugierte Paare auf: Ist p + qi eine Lösung, dann auch p - qi.
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades, in Normalform geschrieben als ax^2 + bx + c = 0 mit a ungleich null. Der Graph der zugehörigen Funktion y = ax^2 + bx + c ist eine Parabel, und die Lösungen der Gleichung sind jene x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet oder berührt.
Jede quadratische Gleichung besitzt, mit Vielfachheit gezählt, genau zwei Lösungen — eine Folge des Fundamentalsatzes der Algebra. Welcher Art diese Lösungen sind, bestimmt allein die Diskriminante b^2 - 4ac: Eine positive Diskriminante liefert zwei verschiedene reelle Lösungen, eine Diskriminante von null eine doppelte reelle Lösung (die Parabel berührt die Achse in ihrem Scheitelpunkt), und eine negative Diskriminante zwei konjugiert komplexe Lösungen der Form p + qi und p - qi, wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet.
Quadratische Gleichungen treten in Mathematik und angewandter Wissenschaft überall auf — Wurfbewegungen, Flächen- und Optimierungsaufgaben, Zinseszinsprobleme sowie die charakteristischen Gleichungen physikalischer Systeme führen in den Standardfällen auf quadratische Gleichungen.
So verwenden Sie diesen Rechner für quadratische Gleichungen
- Bringen Sie Ihre Gleichung in die Normalform ax^2 + bx + c = 0, indem Sie nötigenfalls alle Terme auf eine Seite bringen.
- Geben Sie die Koeffizienten a, b und c samt Vorzeichen ein. Der Koeffizient a darf nicht null sein, da die Gleichung sonst linear wäre.
- Lesen Sie die Diskriminante ab, um zu erkennen, welche Art von Lösungen zu erwarten ist: positiv für zwei reelle Lösungen, null für eine doppelte Lösung, negativ für komplexe Lösungen.
- Lesen Sie die Lösungen ab. Komplexe Lösungen werden in der Form p ± qi angezeigt.
Die Lösungsformel
Die Lösungen von ax^2 + bx + c = 0 lauten x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). Der Ausdruck unter der Wurzel, D = b^2 - 4ac, heißt Diskriminante.
Rechenbeispiel (zwei reelle Lösungen): x^2 - 3x + 2 = 0, also a = 1, b = -3, c = 2. Diskriminante: (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1. Lösungen: x = (3 ± sqrt(1)) / 2, woraus x1 = (3 + 1) / 2 = 2 und x2 = (3 - 1) / 2 = 1 folgen. Kontrolle durch Faktorisieren: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
Rechenbeispiel (komplexe Lösungen): x^2 + 2x + 5 = 0, also a = 1, b = 2, c = 5. Diskriminante: 4 - 20 = -16. Die Lösungen lauten x = (-2 ± sqrt(-16)) / 2 = (-2 ± 4i) / 2 = -1 ± 2i, ein konjugiert komplexes Paar. Die Parabel schneidet die x-Achse daher nicht.
Ist die Diskriminante null, lautet die einzige, doppelte Lösung x = -b / (2a), was zugleich die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel ist.
Häufige Fehler
- Vorzeichenfehler beim Ablesen der Koeffizienten: In x^2 - 3x + 2 = 0 ist b gleich -3 und nicht 3.
- Vergessen, dass die Formel den gesamten Zähler durch 2a teilt — ein klassischer Fehler besteht darin, nur den Wurzelterm zu teilen.
- Die Diskriminante als b^2 - 4ac berechnen, dabei aber das Vorzeichen von c übergehen: Ist c negativ, wird -4ac positiv.
- Eine negative Diskriminante als »keine Lösung« deuten — die Gleichung besitzt weiterhin zwei konjugiert komplexe Lösungen; sie hat lediglich keine reellen Lösungen.
- Die Gleichung nicht zuerst in Normalform bringen: 2x^2 = 6x - 4 muss zu 2x^2 - 6x + 4 = 0 umgeformt werden, bevor sich a, b und c ablesen lassen.
Häufig gestellte Fragen
Wie löse ich eine quadratische Gleichung mit der Lösungsformel?
Schreiben Sie die Gleichung als ax^2 + bx + c = 0 und setzen Sie die Koeffizienten in x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a) ein. Für x^2 - 3x + 2 = 0 beträgt die Diskriminante 9 - 8 = 1, und die Lösungen lauten (3 ± 1) / 2, also x = 2 und x = 1.
Was sagt mir die Diskriminante?
Die Diskriminante D = b^2 - 4ac bestimmt die Art der Lösungen, noch bevor Sie rechnen. D > 0 bedeutet zwei verschiedene reelle Lösungen, D = 0 eine doppelte reelle Lösung bei x = -b/(2a), und D < 0 zwei konjugiert komplexe Lösungen ohne reelle Lösung. Geometrisch gibt sie an, ob die Parabel die x-Achse schneidet, berührt oder verfehlt.
Was sind komplexe Lösungen?
Ist die Diskriminante negativ, steht unter der Wurzel der Lösungsformel eine negative Zahl, und die Lösungen nehmen die Form p ± qi an, wobei i = sqrt(-1) die imaginäre Einheit ist. So besitzt x^2 + 2x + 5 = 0 die Diskriminante -16 und die Lösungen -1 + 2i und -1 - 2i. Komplexe Lösungen einer reellen quadratischen Gleichung treten stets als konjugierte Paare auf.
Kann eine quadratische Gleichung nur eine Lösung haben?
Ja, nämlich dann, wenn die Diskriminante genau null ist. Die doppelte Lösung lautet x = -b / (2a), und die Parabel berührt die x-Achse in einem einzigen Punkt — ihrem Scheitelpunkt. So besitzt x^2 - 4x + 4 = 0 die Diskriminante 16 - 16 = 0 und die einzige (doppelte) Lösung x = 2, da sich die Gleichung als (x - 2)^2 faktorisieren lässt.
Wie prüfe ich, ob meine Lösungen stimmen?
Setzen Sie jede Lösung wieder in die Gleichung ein oder nutzen Sie den Satz von Vieta: Die Lösungen müssen x1 + x2 = -b/a und x1 x x2 = c/a erfüllen. Für x^2 - 3x + 2 = 0 mit den Lösungen 2 und 1 beträgt die Summe 3 = -(-3)/1 und das Produkt 2 = 2/1, was die Lösung bestätigt.
Warum darf der Koeffizient a nicht null sein?
Bei a = 0 entfällt der x^2-Term, und die Gleichung bx + c = 0 ist linear mit der einzigen Lösung x = -c/b (sofern b ungleich null ist). Die Lösungsformel teilt durch 2a und ist daher für a = 0 nicht definiert. Dieser Rechner setzt einen Wert für a ungleich null voraus.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (standard treatment of quadratic equations and the discriminant).