Betrag und Argument verstehen
Betrag und Argument beschreiben gemeinsam die Lage einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene in Polarform, ergänzend zur kartesischen Form a + bi.
| Größe | Bedeutung | Formel |
|---|---|---|
| Betrag |z| | Abstand vom Ursprung zum Punkt (a, b) — die Größe der Zahl | √(a² + b²) |
| Argument arg(z) | Winkel (hier in Grad) von der positiven reellen Achse zum Punkt (a, b) | atan2(b, a) |
| Konjugierte z̄ | Spiegelung von a + bi an der reellen Achse | a − bi |
- Das Argument wird mit dem zweiargumentigen Arkustangens (atan2) bestimmt, der den Winkel für jede Vorzeichenkombination von Real- und Imaginärteil im richtigen Quadranten liefert — anders als ein einfacher arctan(b/a).
- Die Division durch null (0 + 0i) ist mathematisch nicht definiert; dieser Rechner gibt in diesem Fall kein Ergebnis aus, statt einen willkürlichen Wert zu liefern.
- Die Ergebnisse werden für Real- und Imaginärteil auf 6 Dezimalstellen und für das Argument in Grad auf 4 Dezimalstellen gerundet.
Was ist eine komplexe Zahl?
Eine komplexe Zahl hat die Form a + bi, wobei a der Realteil, b der Imaginärteil und i die durch i² = −1 definierte imaginäre Einheit ist. Komplexe Zahlen erweitern die reelle Zahlengerade zu einer zweidimensionalen Ebene (der komplexen Zahlenebene), in der der Realteil auf der waagerechten und der Imaginärteil auf der senkrechten Achse abgetragen wird. Sie treten ganz natürlich auf, wenn man Polynomgleichungen ohne reelle Lösungen betrachtet, etwa x² + 1 = 0.
Jede komplexe Zahl a + bi besitzt zwei weitere Standardkenngrößen: ihren Betrag |z| = √(a² + b²), also den Abstand vom Ursprung zum Punkt (a, b) in der komplexen Ebene, und ihr Argument arg(z) = atan2(b, a), also den Winkel, den die Strecke vom Ursprung zu (a, b) mit der positiven reellen Achse einschließt. Zusammen ergeben Betrag und Argument die Polarform einer komplexen Zahl — eine Alternative zur kartesischen Form a + bi, die für Multiplikation, Division und Potenzen oft handlicher ist.
Komplexe Zahlen haben praktische Anwendungen weit über die reine Mathematik hinaus: In der Elektrotechnik beschreiben sie Impedanz und Phase im Wechselstromkreis, in der Regelungstechnik dient die Lage der Pole in der komplexen Ebene der Stabilitätsanalyse, und die Signalverarbeitung stützt sich bei der Fourier-Transformation auf komplexe Exponentialfunktionen.
So verwenden Sie diesen Rechner für komplexe Zahlen
- Geben Sie Realteil (a) und Imaginärteil (b) der ersten komplexen Zahl a + bi ein.
- Wählen Sie die Rechenoperation: Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.
- Geben Sie Realteil (c) und Imaginärteil (d) der zweiten komplexen Zahl c + di ein.
- Lesen Sie das Ergebnis in der Form a + bi zusammen mit seinem Betrag und seinem Argument (Winkel in Grad) ab. Die Division ist nicht definiert, wenn die zweite Zahl 0 + 0i ist.
Die Formeln der komplexen Arithmetik
Addition und Subtraktion verbinden Realteile mit Realteilen und Imaginärteile mit Imaginärteilen, genau wie das Zusammenfassen gleichartiger Terme in der gewöhnlichen Algebra: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
Die Multiplikation wird wie ein Binomprodukt ausmultipliziert und mit i² = −1 vereinfacht: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i. Rechenbeispiel mit den Standardwerten a=3, b=2, c=1, d=−4: (3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = (3 + 8) + (−12 + 2)i = 11 − 10i.
Bei der Division werden Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners (c − di) multipliziert, um den Imaginärteil aus dem Nenner zu entfernen: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²). Dies ist nicht definiert, wenn c² + d² = 0 gilt, der Divisor also 0 + 0i ist.
Der Betrag des Ergebnisses lautet |z| = √(x² + y²), wobei x und y Real- und Imaginärteil des Ergebnisses sind, und das Argument arg(z) = atan2(y, x), umgerechnet in Grad. Für 11 − 10i beträgt der Betrag √(11² + 10²) = √221 ≈ 14,866 und das Argument atan2(−10, 11) ≈ −42,274°.
Häufige Fehler
- Beim Multiplizieren vergessen, dass i² = −1 gilt — genau dieser Schritt verwandelt den Term i²bd in einen reellen (nicht imaginären) Beitrag von −bd.
- Komplexe Zahlen direkt dividieren, statt zuvor mit der Konjugierten des Nenners zu multiplizieren — eine direkte Division lässt einen Imaginärteil im Nenner stehen, was keine gültige Endform ist.
- Den Betrag (eine Größe, stets ≥ 0) mit dem Realteil verwechseln — der Betrag nutzt über √(a² + b²) sowohl Real- als auch Imaginärteil.
- Das Argument als einfachen arctan(b/a) ablesen — das liefert im zweiten und dritten Quadranten (wo a negativ ist) den falschen Winkel; für den korrekten Quadranten ist atan2(b, a) erforderlich.
- Verwechseln, welches Eingabepaar zu welcher komplexen Zahl gehört — der Rechner behandelt (a, b) als erste und (c, d) als zweite Zahl, angewandt in dieser Reihenfolge auf Subtraktion und Division, die nicht kommutativ sind.
Häufig gestellte Fragen
Wie multipliziert man zwei komplexe Zahlen?
Man multipliziert das Produkt wie ein Binom aus und ersetzt i² durch −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Beispielsweise ergibt (3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = 11 − 10i. Der Realteil des Produkts ist ac − bd, der Imaginärteil ad + bc.
Wie dividiert man komplexe Zahlen?
Man multipliziert Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, wodurch i aus dem Nenner verschwindet: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²). Das funktioniert, weil (c + di)(c − di) = c² + d² eine reelle Zahl ergibt. Die Division ist nicht definiert, wenn der Nenner 0 + 0i ist.
Was ist der Betrag einer komplexen Zahl?
Der Betrag, geschrieben |z|, ist der Abstand vom Ursprung zu dem Punkt, der die komplexe Zahl in der komplexen Ebene darstellt, berechnet als |a + bi| = √(a² + b²). Er verallgemeinert den Absolutbetrag reeller Zahlen auf komplexe Zahlen und ist stets eine nichtnegative reelle Zahl.
Was ist i zum Quadrat?
Per Definition gilt i² = −1. Die imaginäre Einheit i ist gerade so festgelegt, dass ihr Quadrat minus eins ergibt — nur dadurch können komplexe Zahlen Lösungen von Gleichungen wie x² + 1 = 0 darstellen, die keine reelle Lösung besitzen.
Was ist das Argument einer komplexen Zahl?
Das Argument arg(z) ist der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und der Strecke vom Ursprung zum Punkt (a, b), der die komplexe Zahl a + bi darstellt, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. Es wird als atan2(b, a) berechnet, damit der Quadrant stimmt, und von diesem Rechner in Grad ausgegeben.
Warum nutzt man zum Dividieren die konjugiert komplexe Zahl?
Multipliziert man eine komplexe Zahl c + di mit ihrer Konjugierten c − di, entsteht ein rein reelles Ergebnis c² + d², da sich die gemischten Terme aufheben: (c + di)(c − di) = c² − (di)² = c² + d². Multipliziert man daher Zähler und Nenner einer Division mit der Konjugierten des Nenners, verschwindet der Imaginärteil aus dem Nenner und das Ergebnis liegt in der Standardform a + bi vor.
Quellenangaben
- Churchill RV, Brown JW. Complex Variables and Applications. 9th ed. McGraw-Hill, 2013.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.9 Calculus of a Complex Variable. dlmf.nist.gov.
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Appendix on complex numbers.)