Logarithmus-Ergebnisse verstehen
Die drei Standardbasen beantworten unterschiedliche Fragen zu derselben Zahl. Die folgende Tabelle zeigt sie für x = 100.
| Logarithmus | Basis | Wert für x = 100 | Typische Verwendung |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2,71828... | 4,60517 | Analysis, kontinuierliches Wachstum und Zerfall |
| log10 | 10 | 2 | Wissenschaftliche Schreibweise, Dezibel, pH, Größenordnungen |
| log2 | 2 | 6,643856 | Informatik, Informationstheorie (Bits) |
- Logarithmen sind für null und negative Zahlen nicht definiert, und die Basis muss positiv und ungleich 1 sein.
- Es gilt log_b(1) = 0 in jeder Basis, da b^0 = 1, sowie log_b(b) = 1, da b^1 = b.
- Ein Logarithmus ist negativ, wenn die Eingabe zwischen 0 und 1 liegt — so ist etwa log_10(0,01) = -2.
- Die Notation unterscheidet sich je nach Fachgebiet: In der Mathematik bezeichnet »log« ohne Basisangabe häufig ln, in der Technik und auf den meisten Taschenrechnern hingegen log10. ISO 80000-2 empfiehlt die eindeutigen Schreibweisen ln, lg und lb.
Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis b, geschrieben log_b(x), ist der Exponent, mit dem b potenziert werden muss, um x zu erhalten: Gilt b^y = x, so ist log_b(x) = y. So ist log_10(100) = 2, da 10^2 = 100, und log_2(8) = 3, da 2^3 = 8. Logarithmen sind die Umkehrung des Potenzierens.
In der Praxis dominieren drei Basen. Der natürliche Logarithmus (ln) verwendet die Basis e (rund 2,71828) und ist Standard in der Analysis, in Wachstums- und Zerfallsmodellen sowie in den Naturwissenschaften. Der Zehnerlogarithmus (log10) liegt der wissenschaftlichen Schreibweise und Messskalen wie Dezibel und pH zugrunde. Der Zweierlogarithmus (log2) findet in der Informatik durchgängig Verwendung, von der Analyse von Algorithmen bis zur Informationstheorie, wo er Bits misst.
Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert, und die Basis muss positiv und ungleich 1 sein. Es gibt keine reelle Zahl y, für die b^y null oder negativ wird, weshalb log(0) und Logarithmen negativer Zahlen nicht definiert sind; eine Basis von 1 scheidet aus, da 1 potenziert mit jedem Exponenten stets 1 ergibt.
So verwenden Sie diesen Logarithmus-Rechner
- Geben Sie die Zahl x ein, deren Logarithmus Sie bestimmen möchten. Sie muss positiv sein.
- Geben Sie die Basis b ein. Sie muss positiv und ungleich 1 sein; gängige Wahlen sind 10, 2 und e (rund 2,71828).
- Lesen Sie den Logarithmus von x zur Basis b ab, berechnet mit der Basiswechselformel.
- Vergleichen Sie ihn mit dem natürlichen, dem Zehner- und dem Zweierlogarithmus derselben Zahl, die daneben angezeigt werden.
Die Basiswechselformel
Jeder Logarithmus lässt sich aus Logarithmen zu einer anderen Basis berechnen: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Über diese Basiswechselidentität werten Rechner Logarithmen zu beliebigen Basen aus, obwohl sie allein den natürlichen Logarithmus benötigen.
Rechenbeispiel: log_2(8). Berechnen Sie ln(8) = 2,079442 und ln(2) = 0,693147; ihr Quotient beträgt 2,079442 / 0,693147 = 3. Kontrolle: 2^3 = 8. Ein weiteres Beispiel: log_10(100) = 2, da 10^2 = 100; für dieselbe Eingabe weist der Rechner außerdem ln(100) = 4,60517 und log_2(100) = 6,643856 aus.
Die zentralen algebraischen Identitäten folgen unmittelbar aus der Definition: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz; und beim Logarithmus einer Potenz wandert der Exponent nach vorn, log_b(x^k) = k log_b(x). Diese Regeln verwandeln Multiplikation in Addition, was der ursprüngliche Beweggrund für Logarithmentafeln war.
Häufige Fehler
- Den Logarithmus von null oder einer negativen Zahl bilden — Logarithmen sind nur für positive Eingaben definiert.
- Annehmen, log(x + y) entspreche log(x) + log(y); die Summenregel gilt für Produkte, nicht für Summen: log(xy) = log(x) + log(y).
- Verwechseln, welche Basis »log« meint: Taschenrechner und Programmiersprachen unterscheiden sich (in JavaScript ist Math.log der natürliche Logarithmus).
- log_b(x^k) als (log_b x)^k schreiben — die Potenzregel zieht den Exponenten als Faktor nach vorn und nicht auf den Logarithmus.
- Die Basis 1 verwenden, für die kein Logarithmus existiert, da 1 potenziert mit jedem Exponenten 1 ergibt.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Logarithmus von 100 zur Basis 10?
log_10(100) = 2, da 10 hoch 2 gleich 100 ist. Der Zehnerlogarithmus zählt Zehnerfaktoren, daher gilt log_10(1000) = 3 und log_10(0,01) = -2.
Wie berechne ich einen Logarithmus zu einer Basis, die mein Taschenrechner nicht kennt?
Verwenden Sie die Basiswechselformel: log_b(x) = ln(x) / ln(b) oder gleichwertig log_10(x) / log_10(b). So ergibt sich log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, und tatsächlich gilt 5^3 = 125.
Worin unterscheiden sich ln und log?
ln bezeichnet stets den natürlichen Logarithmus zur Basis e (rund 2,71828). »log« ist mehrdeutig: In der reinen Mathematik meint es häufig den natürlichen Logarithmus, in Technik, Chemie und auf den meisten Taschenrechnern hingegen die Basis 10. Die Norm ISO 80000-2 empfiehlt, ln für die Basis e, lg für die Basis 10 und lb für die Basis 2 zu schreiben, um Mehrdeutigkeit zu vermeiden.
Warum kann ich den Logarithmus einer negativen Zahl nicht bilden?
Weil keine reelle Potenz einer positiven Basis ein negatives Ergebnis liefert: b^y ist für jedes reelle y positiv, sofern b > 0 gilt. Folglich besitzt log_b(x) für x <= 0 keinen reellen Wert. (In der Funktionentheorie lassen sich Logarithmen negativer Zahlen definieren, sie sind jedoch mehrdeutig und liegen außerhalb des Rahmens reellwertiger Rechner.)
Wofür wird log2 verwendet?
Der Zweierlogarithmus log_2 misst, wie viele Verdopplungen zu einer Zahl führen, was ihn in der Informatik grundlegend macht: Eine binäre Suche über n sortierte Elemente benötigt etwa log_2(n) Schritte, und log_2 liefert die Anzahl der Bits, die zur Darstellung von n verschiedenen Werten nötig sind. So ist log_2(1024) = 10, mit 10 Bit lassen sich also 1024 Werte adressieren.
Was bedeutet eine logarithmische Skala?
Eine logarithmische Skala staffelt Werte nach gleichen Verhältnissen statt nach gleichen Differenzen: Jeder Schritt multipliziert mit einem konstanten Faktor. Dezibel, die Richterskala und der pH-Wert sind logarithmisch — ein Anstieg um 1 pH-Einheit bedeutet eine zehnfache Abnahme der Wasserstoffionenkonzentration. Logarithmische Skalen machen Größen über viele Größenordnungen hinweg auf einer Achse lesbar.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).