Die Determinante verstehen
Der Wert der Determinante besitzt unmittelbare geometrische und algebraische Bedeutung.
| Determinante | Bedeutung |
|---|---|
| det != 0 | Matrix ist invertierbar; das System Ax = b besitzt eine eindeutige Lösung |
| det = 0 | Matrix ist singulär; keine Inverse; Zeilen bzw. Spalten sind linear abhängig |
| |det| > 1 | Die Abbildung vergrößert Flächen (2x2) oder Volumina (3x3) um den Faktor |det| |
| |det| < 1 | Die Abbildung verkleinert Flächen oder Volumina |
| det < 0 | Die Abbildung kehrt die Orientierung um (enthält eine Spiegelung) |
- Die Inverse wird für 2x2-Matrizen mit Determinante ungleich null ausgegeben. Eine singuläre Matrix (Determinante 0) besitzt keine Inverse; im 3x3-Modus werden nur Determinante und Spur ausgewiesen.
- Die Einträge müssen zeilenweise angegeben werden, und ihre Anzahl muss zur gewählten Größe passen: 4 Einträge bei 2x2, 9 Einträge bei 3x3.
- Die Spur entspricht der Summe der Eigenwerte, die Determinante ihrem Produkt — zwei Standardidentitäten der linearen Algebra.
- Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, doch für invertierbares A gilt stets A × A^-1 = A^-1 × A = I.
Was sind Determinante, Spur und Inverse einer Matrix?
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema; eine quadratische Matrix besitzt ebenso viele Zeilen wie Spalten. Die Determinante ist eine einzelne aus der quadratischen Matrix berechnete Zahl, die angibt, ob die Matrix invertierbar ist und wie sie den Raum skaliert: Eine lineare Abbildung mit der Determinante d vervielfacht Flächen (2x2) beziehungsweise Volumina (3x3) um |d|, und eine negative Determinante zeigt eine Spiegelung an, also einen Wechsel der Orientierung.
Eine Matrix ist genau dann invertierbar (regulär), wenn ihre Determinante ungleich null ist. Die Inverse A^-1 ist diejenige Matrix, die A rückgängig macht: Das Produkt aus A und A^-1 ergibt die Einheitsmatrix. Ist die Determinante null, so ist die Matrix singulär — sie presst den Raum auf eine Gerade oder Ebene zusammen —, und es existiert keine Inverse. Determinanten entscheiden zudem darüber, ob ein lineares Gleichungssystem Ax = b eine eindeutige Lösung besitzt.
Die Spur ist die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten). Sie stimmt mit der Summe der Eigenwerte überein und tritt in der linearen Algebra wie in der Physik allgegenwärtig auf. Bei einer 2x2-Matrix ist das charakteristische Polynom vollständig durch Spur und Determinante bestimmt: lambda^2 - Spur × lambda + det = 0.
So verwenden Sie diesen Matrixrechner
- Wählen Sie die Größe der Matrix: 2 x 2 (genau 4 Einträge) oder 3 x 3 (genau 9 Einträge).
- Geben Sie die Einträge zeilenweise ein — zuerst die erste Zeile von links nach rechts, dann die zweite Zeile und so fort. Für die Matrix mit den Zeilen (4, 7) und (2, 6) geben Sie ein: 4; 7; 2; 6.
- Lesen Sie Determinante und Spur ab.
- Bei einer 2x2-Matrix mit Determinante ungleich null lesen Sie die Inverse ab, die zeilenweise als [a, b; c, d] dargestellt wird. Singuläre Matrizen (Determinante 0) besitzen keine Inverse, und im 3x3-Modus werden nur Determinante und Spur ausgegeben.
Formeln für Determinante, Spur und Inverse
2x2-Determinante: Für die Matrix mit den Zeilen (a, b) und (c, d) gilt det = ad - bc. Rechenbeispiel mit den Zeilen (4, 7) und (2, 6): det = 4 × 6 - 7 × 2 = 24 - 14 = 10. Die Spur beträgt a + d = 4 + 6 = 10.
2x2-Inverse: Ist die Determinante ungleich null, so gilt A^-1 = (1/det) × [d, -b; -c, a] — die Diagonaleinträge werden vertauscht, die Nebendiagonaleinträge erhalten ein negatives Vorzeichen, und alles wird durch die Determinante geteilt. Für das Beispiel: (1/10) × [6, -7; -2, 4] = [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]. Probe: Das Produkt der ursprünglichen Matrix mit dieser Inversen ergibt die Einheitsmatrix.
3x3-Determinante (Kofaktorentwicklung nach der ersten Zeile): Für die Zeilen (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i) gilt det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg). Rechenbeispiel mit den Zeilen (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10): det = 1 × (5 × 10 - 6 × 8) - 2 × (4 × 10 - 6 × 7) + 3 × (4 × 8 - 5 × 7) = 1 × 2 - 2 × (-2) + 3 × (-3) = 2 + 4 - 9 = -3. Die Spur beträgt 1 + 5 + 10 = 16.
Häufige Fehler
- Die Werte spaltenweise eingeben — dieser Rechner liest die Einträge zeilenweise, [4, 7, 2, 6] steht also für die Zeilen (4, 7) und (2, 6).
- Die 2x2-Determinante als ad + bc statt als ad - bc berechnen.
- Den Vorzeichenwechsel in der 3x3-Kofaktorentwicklung vergessen: Der mittlere Term wird subtrahiert, det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
- Eine Matrix mit Determinante 0 invertieren wollen — singuläre Matrizen besitzen keine Inverse.
- Beim Kurzweg zur 2x2-Inversen das falsche Paar vertauschen: Vertauscht werden die Diagonaleinträge a und d, während b und c an ihrer Stelle bleiben und lediglich das Vorzeichen wechseln.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Determinante einer 2x2-Matrix?
Für die Matrix mit den Zeilen (a, b) und (c, d) lautet die Determinante ad - bc: Multiplizieren Sie die Hauptdiagonale, multiplizieren Sie die Nebendiagonale und ziehen Sie das zweite Produkt ab. Für die Zeilen (4, 7) und (2, 6) ergibt sich det = 4 × 6 - 7 × 2 = 24 - 14 = 10.
Wie finde ich die Inverse einer 2x2-Matrix?
Ist die Determinante ad - bc ungleich null, so vertauschen Sie die Diagonaleinträge, versehen die Nebendiagonaleinträge mit negativem Vorzeichen und teilen jeden Eintrag durch die Determinante: A^-1 = (1/(ad - bc)) × [d, -b; -c, a]. Für die Zeilen (4, 7) und (2, 6) mit der Determinante 10 lautet die Inverse [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]. Ist die Determinante null, existiert keine Inverse.
Was bedeutet eine Determinante von null?
Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix singulär ist: Ihre Zeilen (und Spalten) sind linear abhängig, die zugehörige Abbildung presst den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammen, und eine Inverse existiert nicht. Ein lineares Gleichungssystem mit singulärer Koeffizientenmatrix besitzt entweder keine oder unendlich viele Lösungen, niemals genau eine.
Was ist die Spur einer Matrix?
Die Spur ist die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonale, von links oben nach rechts unten. Für die Zeilen (4, 7) und (2, 6) beträgt sie 4 + 6 = 10. Da die Spur der Summe der Eigenwerte entspricht, ist sie eine rasch zugängliche Invariante, die in linearer Algebra, Geometrie und Physik verwendet wird.
Wie wird eine 3x3-Determinante berechnet?
Durch Kofaktorentwicklung nach der ersten Zeile: det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) für die Zeilen (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i). Jeder Eintrag der ersten Zeile wird mit der Determinante derjenigen 2x2-Matrix multipliziert, die nach dem Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, wobei die Vorzeichen +, -, + wechseln. Für die Zeilen (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10) ergibt das 2 + 4 - 9 = -3.
Warum zeigt der Rechner keine 3x3-Inverse an?
Eine 3x3-Matrix zu invertieren erfordert die vollständige Adjunkte (die transponierte Kofaktorenmatrix) geteilt durch die Determinante — neun Kofaktorberechnungen, die den Rahmen dieses Werkzeugs sprengen. Dieser Rechner gibt für 3x3-Matrizen Determinante und Spur aus und für reguläre 2x2-Matrizen zusätzlich die vollständige Inverse.
Quellenangaben
- Strang G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press (determinants, inverses and the trace).
- Weisstein, Eric W. "Determinant" and "Matrix Inverse." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra. Wiley (cofactor expansion and the adjugate formula).