Potenzergebnisse verstehen
Vorzeichen und Größe des Exponenten bestimmen den Charakter des Ergebnisses. Die folgende Tabelle fasst die Fälle für eine Basis größer als 1 zusammen.
| Exponent | Ergebnis (Basis > 1) | Beispiel |
|---|---|---|
| Positive ganze Zahl | Wiederholte Multiplikation; wächst rasch | 2^10 = 1024 |
| Null | Stets 1 für jede Basis ungleich null | 7^0 = 1 |
| Negativ | Kehrwert der positiven Potenz; zwischen 0 und 1 | 2^-3 = 0,125 |
| Bruch 1/n | Die n-te Wurzel | 9^0,5 = 3 |
| Gebrochen, negative Basis | In der Regel keine reelle Zahl | (-8)^0,5 im Reellen nicht definiert |
- Das Potenzieren ist nicht kommutativ: 2^10 = 1024, hingegen 10^2 = 100.
- Mehrfaches Potenzieren wird üblicherweise von rechts nach links ausgewertet: 2^3^2 bedeutet 2^(3^2) = 2^9 = 512 und nicht (2^3)^2 = 64.
- Ergebnisse jenseits von etwa 10^15 verlieren in der Gleitkommaarithmetik doppelter Genauigkeit ihre ganzzahlige Präzision und werden in wissenschaftlicher Schreibweise ausgegeben.
- 0^0 wird von den meisten Rechenumgebungen — auch von diesem Rechner — als 1 behandelt, bleibt in manchen mathematischen Zusammenhängen aber undefiniert.
Was ist Potenzieren?
Das Potenzieren schreibt wiederholte Multiplikation kompakt auf: b^n bedeutet, dass die Basis b n-mal mit sich selbst multipliziert wird, sofern n eine positive ganze Zahl ist. Somit gilt 2^10 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024. Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird; der Exponent (auch Hochzahl genannt) zählt die Multiplikationen.
Die Definition lässt sich widerspruchsfrei über die positiven ganzen Zahlen hinaus fortsetzen. Jede Basis ungleich null ergibt hoch 0 stets 1. Ein negativer Exponent liefert den Kehrwert: b^(-n) = 1 / b^n, also 2^(-3) = 1/8 = 0,125. Ein gebrochener Exponent liefert eine Wurzel: b^(1/2) ist die Quadratwurzel aus b und b^(1/3) die Kubikwurzel, daher gilt 9^0,5 = 3. Diese Erweiterungen sind zwingend, wenn das Gesetz b^(m+n) = b^m x b^n weiterhin gelten soll.
Gebrochene Potenzen negativer Basen sind in aller Regel keine reellen Zahlen — (-8)^0,5 wäre etwa die Quadratwurzel einer negativen Zahl —, weshalb dieser Rechner in solchen Fällen kein Ergebnis ausgibt. Sehr große Ergebnisse werden in wissenschaftlicher Schreibweise dargestellt, dem in Wissenschaft und Technik durchgängig verwendeten Format m × 10^k.
So verwenden Sie diesen Potenzrechner
- Geben Sie die Basis ein — die Zahl, die potenziert werden soll. Sie darf negativ oder eine Dezimalzahl sein.
- Geben Sie den Exponenten ein. Positive, negative, null und gebrochene Exponenten sind gleichermaßen zulässig.
- Lesen Sie das Ergebnis ab. Beträge oberhalb von etwa 10^15 werden in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt.
- Lesen Sie die wissenschaftliche Schreibweise (m × 10^k, dargestellt als E-Notation wie etwa 1.0240e+3), die stets zusätzlich ausgewiesen wird.
Die Potenzgesetze
Die zentralen Regeln: Beim Multiplizieren von Potenzen gleicher Basis werden die Exponenten addiert, b^m x b^n = b^(m+n); beim Dividieren werden sie subtrahiert; beim Potenzieren einer Potenz werden sie multipliziert, (b^m)^n = b^(mn); jede Basis ungleich null ergibt hoch 0 den Wert 1; ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert; und ein gebrochener Exponent 1/n bezeichnet die n-te Wurzel.
Rechenbeispiel: 2^10. Multiplizieren Sie zehn Faktoren 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 — somit ist 2^10 = 1024. In wissenschaftlicher Schreibweise gilt 1024 = 1,024 × 10^3, was dieser Rechner als 1.0240e+3 anzeigt.
Beispiel für einen negativen Exponenten: 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0,125. Beispiel für einen gebrochenen Exponenten: 9^0,5 = √9 = 3, und 8^(1/3) = 2, da 2^3 = 8.
Häufige Fehler
- Die Basis mit dem Exponenten multiplizieren: 2^10 ergibt 1024 und nicht 20.
- Annehmen, ein negativer Exponent erzeuge eine negative Zahl — b^(-n) ist der Kehrwert 1/b^n und damit für positives b stets positiv.
- -2^4 mit (-2)^4 verwechseln: Konventionsgemäß bindet das Potenzieren stärker als das Vorzeichen, daher ist -2^4 = -16, während (-2)^4 = 16 gilt.
- Exponenten addieren, obwohl die Basen verschieden sind — die Regel b^m x b^n = b^(m+n) gilt ausschließlich für gleiche Basen.
- Ein reelles Ergebnis für eine gebrochene Potenz einer negativen Basis erwarten, etwa (-8)^0,5, das keine reelle Zahl ist.
Häufig gestellte Fragen
Was ist 2 hoch 10?
2^10 = 1024. Es ist die zehnfache Multiplikation von 2 mit sich selbst und wird in wissenschaftlicher Schreibweise als 1,024 × 10^3 geschrieben. Zweierpotenzen sind in der Informatik grundlegend: 2^10 Byte ergeben ein Kibibyte.
Was bedeutet ein negativer Exponent?
Ein negativer Exponent bezeichnet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz: b^(-n) = 1 / b^n. So ist etwa 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0,125. Bei positiver Basis ist das Ergebnis eines negativen Exponenten stets positiv — es ist klein, aber nicht negativ.
Was bedeutet ein gebrochener Exponent?
Ein gebrochener Exponent bezeichnet eine Wurzel: b^(1/n) ist die n-te Wurzel aus b, und b^(m/n) ist die n-te Wurzel aus b^m. So gilt 9^0,5 = √9 = 3 und 8^(2/3) = (Kubikwurzel aus 8)^2 = 2^2 = 4. Gebrochene Potenzen negativer Basen sind in der Regel keine reellen Zahlen.
Warum ergibt jede Zahl hoch 0 den Wert 1?
Das folgt aus dem Potenzgesetz b^m / b^n = b^(m-n). Setzt man m = n, so erhält man b^m / b^m = b^0, und jede Zahl ungleich null durch sich selbst geteilt ergibt 1, also b^0 = 1. Der Ausdruck 0^0 ist ein Sonderfall: Die meisten Rechensysteme werten ihn als 1, in manchen mathematischen Zusammenhängen bleibt er hingegen undefiniert.
Was ist die wissenschaftliche Schreibweise?
Die wissenschaftliche Schreibweise stellt eine Zahl als m × 10^k dar, wobei die Mantisse m genau eine von null verschiedene Ziffer vor dem Komma besitzt und k eine ganzzahlige Zehnerpotenz ist. So gilt 1024 = 1,024 × 10^3 und 0,00052 = 5,2 × 10^-4. Sie hält sehr große und sehr kleine Zahlen lesbar und macht Größenordnungen sichtbar; Rechner zeigen sie häufig als E-Notation an, etwa 1.0240e+3.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Exponent Laws." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (notation for powers and roots).
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (exponents, radicals and scientific notation).