Woher die quadratische Formel kommt
Die quadratische Formel wird aus der allgemeinen Gleichung ax^2 + bx + c = 0 (mit a ungleich null) mittels einer Technik namens quadratische Ergänzung hergeleitet. Teilt man jeden Term durch a, erhält man x^2 + (b/a)x + c/a = 0; verschiebt man dann die Konstante auf die andere Seite, erhält man x^2 + (b/a)x = -c/a. Addiert man (b/2a)^2 auf beiden Seiten, wird die linke Seite zu einem vollständigen Quadrat: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
Vereinfacht man die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner, erhält man (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). Zieht man auf beiden Seiten die Quadratwurzel (und lässt sowohl die positive als auch die negative Wurzel zu), erhält man x + b/2a = plus oder minus die Quadratwurzel von (b^2 - 4ac) / (2a), und das Isolieren von x ergibt die bekannte Formel: x = (-b plus oder minus die Quadratwurzel von b^2 - 4ac) / (2a). Jeder Schritt ist umkehrbare Algebra, weshalb die Formel für jede quadratische Gleichung mit von null verschiedenem Leitkoeffizienten funktioniert -- nicht nur für solche, die sich sauber faktorisieren lassen.
Die Diskriminante: was sie vor dem Lösen verrät
Der Ausdruck unter der Quadratwurzel, b^2 - 4ac, wird Diskriminante genannt, und allein ihr Vorzeichen bestimmt, welche Art von Lösungen die Gleichung hat, ohne dass die Lösungen selbst berechnet werden müssen. Eine positive Diskriminante bedeutet, dass die Quadratwurzel eine positive reelle Zahl ist, sodass das Plus-Minus-Zeichen zwei verschiedene reelle Werte von x ergibt. Eine Diskriminante von genau null bedeutet, dass der Wurzelterm vollständig verschwindet, sodass sowohl der Plus- als auch der Minus-Fall auf den einzigen Wert x = -b / (2a) zusammenfallen.
Eine negative Diskriminante bedeutet, dass der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ ist, was keine reelle Quadratwurzel hat -- nur eine imaginäre, da die Quadratwurzel einer negativen Zahl als eine reelle Zahl mal i definiert ist, wobei i die imaginäre Einheit ist, die i^2 = -1 erfüllt. In diesem Fall liefert die Formel weiterhin zwei Lösungen, doch sie bilden ein zueinander konjugiert komplexes Paar der Form p + qi und p - qi, statt reeller Zahlen.
| Diskriminante (b^2 - 4ac) | Anzahl und Art der Lösungen | Verhalten der Parabel |
|---|---|---|
| Positiv (> 0) | Zwei verschiedene reelle Lösungen | Schneidet die x-Achse an zwei Punkten |
| Null (= 0) | Eine doppelte reelle Lösung, x = -b / (2a) | Berührt die x-Achse an genau einem Punkt (dem Scheitelpunkt) |
| Negativ (< 0) | Zwei konjugiert komplexe Lösungen, p ± qi | Berührt oder schneidet die x-Achse nie |
Beispiel 1: zwei verschiedene reelle Lösungen (D > 0)
Lösen Sie x^2 - 3x + 2 = 0. Hier gilt a = 1, b = -3, c = 2. Die Diskriminante ist (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, was positiv ist, sodass zwei verschiedene reelle Lösungen zu erwarten sind. Wendet man die Formel an: x = (3 plus oder minus die Quadratwurzel von 1) / (2 x 1) = (3 plus oder minus 1) / 2. Das ergibt x1 = (3 + 1) / 2 = 2 und x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Diese Lösungen lassen sich durch Faktorisieren der ursprünglichen Gleichung überprüfen: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), was genau dann null ist, wenn x = 1 oder x = 2 ist, was das Ergebnis der Formel bestätigt. Eine weitere Kontrolle nutzt die Formeln von Vieta: Die Summe der Lösungen sollte -b/a = 3 ergeben, und tatsächlich ist 2 + 1 = 3; das Produkt sollte c/a = 2 ergeben, und tatsächlich ist 2 x 1 = 2.
Beispiel 2: eine doppelte reelle Lösung (D = 0)
Lösen Sie x^2 - 4x + 4 = 0. Hier gilt a = 1, b = -4, c = 4. Die Diskriminante ist (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, sodass eine einzige doppelte Lösung zu erwarten ist. Da die Diskriminante null ist, vereinfacht sich die Formel direkt zu x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Diese Gleichung faktorisiert sich als (x - 2)^2 = 0, was bestätigt, dass x = 2 die einzige Lösung ist, gezählt mit der Vielfachheit 2. Geometrisch berührt die Parabel y = x^2 - 4x + 4 die x-Achse genau an ihrem Scheitelpunkt, (2, 0), statt sie zu durchqueren -- das visuelle Kennzeichen einer Diskriminante von null.
Beispiel 3: zwei konjugiert komplexe Lösungen (D < 0)
Lösen Sie x^2 + 2x + 5 = 0. Hier gilt a = 1, b = 2, c = 5. Die Diskriminante ist 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, was negativ ist, sodass keine reellen Lösungen existieren. Wendet man die Formel an: x = (-2 plus oder minus die Quadratwurzel von -16) / (2 x 1). Die Quadratwurzel von -16 ist 4i, da (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16 ist, sodass x = (-2 plus oder minus 4i) / 2 = -1 plus oder minus 2i.
Die beiden Lösungen sind daher -1 + 2i und -1 - 2i, ein zueinander konjugiert komplexes Paar -- das heißt, sie haben denselben Realteil (-1) und entgegengesetzt vorzeichenbehaftete Imaginärteile. Die Parabel y = x^2 + 2x + 5 liegt vollständig oberhalb der x-Achse (ihr Minimum bei x = -1 beträgt 4), was der grafische Grund dafür ist, dass sie die Achse nie schneidet und daher keine reellen Lösungen hat.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die quadratische Formel?
Die quadratische Formel löst jede Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0, wobei a ungleich null ist, und besagt, dass x = (-b plus oder minus die Quadratwurzel von b^2 - 4ac), das Ganze geteilt durch 2a. Sie wird durch quadratische Ergänzung der allgemeinen quadratischen Gleichung hergeleitet und funktioniert für jede quadratische Gleichung, ob sie sich in ganze Zahlen faktorisieren lässt oder nicht.
Was verrät die Diskriminante?
Die Diskriminante, b^2 - 4ac, ist der Ausdruck unter der Quadratwurzel in der quadratischen Formel, und ihr Vorzeichen verrät vor dem Lösen die Art der Lösungen. Eine positive Diskriminante bedeutet zwei verschiedene reelle Lösungen, eine Diskriminante von null bedeutet eine doppelte reelle Lösung bei x = -b/(2a), und eine negative Diskriminante bedeutet zwei konjugiert komplexe Lösungen und keine reellen Lösungen.
Wie löst man eine quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen?
Wenn die Diskriminante b^2 - 4ac negativ ist, zieht man die Quadratwurzel ihres Betrags und fügt die imaginäre Einheit i hinzu. Für x^2 + 2x + 5 = 0 ist die Diskriminante -16, und die Quadratwurzel von -16 ist 4i, was die Lösungen x = (-2 plus oder minus 4i) / 2 = -1 plus oder minus 2i ergibt -- ein zueinander konjugiert komplexes Paar.
Woher kommt die quadratische Formel?
Sie stammt aus der quadratischen Ergänzung der allgemeinen Gleichung ax^2 + bx + c = 0. Das Teilen durch a, das Isolieren der Konstante und das Addieren von (b/2a)^2 auf beiden Seiten verwandelt die linke Seite in ein vollständiges Quadrat, (x + b/2a)^2. Zieht man auf beiden Seiten die Quadratwurzel und isoliert x, ergibt sich x = (-b plus oder minus die Quadratwurzel von b^2 - 4ac) / (2a).
Kann eine quadratische Gleichung genau eine Lösung haben?
Ja, wenn die Diskriminante genau null ist. In diesem Fall fällt das Plus-Minus-Zeichen in der Formel auf einen einzigen Wert zusammen, x = -b / (2a), eine sogenannte doppelte Lösung. Zum Beispiel hat x^2 - 4x + 4 = 0 die Diskriminante 16 - 16 = 0 und die einzige doppelte Lösung x = 2, da die Gleichung sich als (x - 2)^2 = 0 faktorisieren lässt.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).