Konvergenz und Divergenz verstehen
Ob eine geometrische Reihe mit zunehmender Gliederzahl gegen eine endliche Summe konvergiert, hängt allein vom Betrag des Quotienten ab, wie die folgende Übersicht zusammenfasst.
| Quotient |r| | Verhalten der Glieder | Summe bis unendlich |
|---|---|---|
| |r| < 1 (z. B. r = 0,5) | Glieder streben gegen 0 | Konvergiert: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | Beträge der Glieder bleiben konstant (bei r = −1 mit wechselndem Vorzeichen) | Divergiert (keine endliche Summe, außer im trivialen Fall a₁ = 0) |
| |r| > 1 (z. B. r = 3) | Beträge der Glieder wachsen über alle Grenzen | Divergiert (keine endliche Summe) |
- Die Vorschau zeigt bis zu die ersten 8 Glieder; bei einem n größer als 8 weisen Auslassungspunkte (…) auf weitere Glieder hin, wobei das n-te Glied und die endliche Summe dennoch exakt für das vollständige eingegebene n berechnet werden.
- Die unendliche Summe wird nur bei |r| < 1 ausgewiesen; bei allen übrigen Quotienten besitzt die Reihe keine endliche Summe, worauf der Rechner hinweist, statt eine irreführende Zahl anzuzeigen.
- Ein Quotient von genau 0 ergibt keine übliche geometrische Folge (jedes Glied nach dem ersten wäre 0), und negative Quotienten erzeugen eine Folge, deren Vorzeichen bei jedem Glied wechselt.
Was ist eine geometrische Folge?
Eine geometrische Folge (auch geometrische Progression) ist eine geordnete Zahlenfolge, bei der jedes Glied nach dem ersten durch Multiplikation des vorherigen Glieds mit einer Konstanten entsteht, dem sogenannten Quotienten r. So bilden etwa 2, 6, 18, 54, 162 eine geometrische Folge mit erstem Glied 2 und Quotient 3, da jedes Glied das Dreifache seines Vorgängers ist.
Ist |r| > 1, so wachsen die Beträge der Glieder über alle Grenzen (exponentielles Wachstum); ist 0 < |r| < 1, so streben die Glieder gegen null (exponentieller Zerfall); bei r = 1 entspricht jedes Glied dem ersten, und bei negativem r wechselt das Vorzeichen der Glieder. Geometrische Folgen modellieren Zinseszins, die Verdopplung von Populationen, radioaktiven Zerfall und jeden Vorgang, bei dem eine Größe wiederholt mit demselben Faktor skaliert wird.
Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Anders als eine arithmetische Reihe kann eine geometrische Reihe selbst bei unendlich vielen Gliedern eine endliche Summe besitzen, sofern der Betrag des Quotienten strikt kleiner als 1 ist — eine Eigenschaft, zu der es bei arithmetischen Folgen keine Entsprechung gibt.
So verwenden Sie diesen Rechner für geometrische Folgen
- Geben Sie das erste Glied der Folge (a₁) ein — den Startwert.
- Geben Sie den Quotienten (r) ein — den festen Faktor, mit dem jedes Glied multipliziert wird, um das nächste zu erhalten. Verwenden Sie einen Wert zwischen −1 und 1 (ausgenommen 0), um eine konvergente unendliche Summe zu sehen.
- Geben Sie die Anzahl der Glieder (n) ein, für die Sie das n-te Glied und die Partialsumme bestimmen möchten.
- Lesen Sie das n-te Glied, die Summe der ersten n Glieder, die Summe bis unendlich (nur bei |r| < 1 ausgewiesen) sowie eine Vorschau mit bis zu den ersten 8 Gliedern ab.
Die Formeln der geometrischen Folge
Das n-te Glied erhält man, indem man das erste Glied mit dem Quotienten in der Potenz (n − 1) multipliziert: aₙ = a₁ × r^(n−1). Rechenbeispiel mit a₁ = 2, r = 3 und n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Die Summe der ersten n Glieder ergibt sich für r ≠ 1 aus der geschlossenen Formel Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1), die man herleitet, indem man von der Reihe eine skalierte Kopie ihrer selbst subtrahiert, sodass sich alle Glieder bis auf das erste und das letzte aufheben. Gilt r = 1, so entspricht jedes Glied a₁ und die Summe lautet schlicht Sₙ = a₁ × n. Rechenbeispiel: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
Gilt |r| < 1, so strebt rⁿ mit unbegrenzt wachsendem n gegen 0, weshalb die Formel der Partialsumme gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Für a₁ = 8 und r = 0,5 ergibt sich beispielsweise S∞ = 8 ÷ (1 − 0,5) = 16 — die unendliche Summe von 8, 4, 2, 1, 0,5, … nähert sich 16 an, ohne diesen Wert je zu überschreiten. Gilt hingegen |r| ≥ 1, so divergiert die unendliche Summe (sie besitzt keinen endlichen Wert), und dieser Rechner weist sie daher nicht aus.
Häufige Fehler
- n statt (n − 1) als Exponenten verwenden — das erste Glied (n = 1) lautet a₁ × r⁰ = a₁ und nicht a₁ × r¹, weshalb der Exponent stets (n − 1) beträgt.
- Die Formel für die unendliche Summe bei |r| ≥ 1 anwenden — in diesem Fall divergiert die Reihe und besitzt keine endliche Summe; die Formel a₁ ÷ (1 − r) gilt ausschließlich für |r| < 1.
- Den Quotienten mit der Differenz verwechseln — geometrische Folgen multiplizieren in jedem Schritt mit r, während arithmetische Folgen in jedem Schritt d addieren.
- Vergessen, dass ein negativer Quotient eine alternierende Folge erzeugt (etwa 2, −6, 18, −54 für a₁ = 2 und r = −3), was manche Lernende für einen Fehler halten statt für das erwartete Verhalten.
Häufig gestellte Fragen
Wie bestimmt man das n-te Glied einer geometrischen Folge?
Verwenden Sie die Formel aₙ = a₁ × r^(n−1), wobei a₁ das erste Glied, r der Quotient und n die Gliednummer ist. Für a₁ = 2, r = 3 und n = 5 gilt: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Wie berechnet man die Summe einer geometrischen Reihe?
Bei endlich vielen Gliedern verwenden Sie für r ≠ 1 die Formel Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1). Für a₁ = 2, r = 3 und n = 5 gilt: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Für eine unendliche geometrische Reihe mit |r| < 1 verwenden Sie stattdessen S∞ = a₁ ÷ (1 − r).
Wann besitzt eine unendliche geometrische Reihe eine Summe?
Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert nur dann gegen eine endliche Summe, wenn der Betrag des Quotienten strikt kleiner als 1 ist (|r| < 1). In diesem Fall gilt S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Ist |r| ≥ 1, so streben die Glieder nicht gegen null, weshalb die Summe über alle Grenzen wächst und die Reihe divergiert.
Worin unterscheiden sich geometrische und arithmetische Folgen?
Eine geometrische Folge multipliziert mit einem konstanten Quotienten r, um das jeweils nächste Glied zu erhalten, und erzeugt so exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Eine arithmetische Folge addiert hingegen eine konstante Differenz d und erzeugt lineares Wachsen oder Fallen. Beides zugleich kann eine Folge im Allgemeinen nur sein, wenn der Quotient 1 ist, also eine konstante Folge vorliegt.
Darf der Quotient negativ sein?
Ja. Ein negativer Quotient erzeugt eine alternierende Folge, bei der das Vorzeichen von Glied zu Glied wechselt. Für a₁ = 2 und r = −3 ergeben sich beispielsweise 2, −6, 18, −54, 162, also ein Wechsel zwischen positiven und negativen Werten, wobei weiterhin aₙ = a₁ × r^(n−1) gilt.
Quellenangaben
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)