Die Vorschau der Folge verstehen
Das Vorzeichen der Differenz entscheidet darüber, ob die Folge steigt, fällt oder konstant bleibt, wie die folgende Übersicht für ein erstes Glied von 3 zeigt.
| Differenz (d) | Verhalten | Erste 5 Glieder (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (z. B. d = 4) | Steigende Folge | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Konstante Folge — jedes Glied entspricht a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (z. B. d = −4) | Fallende Folge | 3, −1, −5, −9, −13 |
- Die Vorschau zeigt bis zu die ersten 8 Glieder; bei einem n größer als 8 weisen Auslassungspunkte (…) darauf hin, dass die Folge über das Dargestellte hinausgeht, wobei das n-te Glied und die Summe dennoch exakt für das vollständige eingegebene n berechnet werden.
- Anders als bei einer geometrischen Folge gibt es bei einer arithmetischen Folge keine obere Schranke dafür, wie groß oder klein die Glieder mit wachsendem n werden können (außer bei d = 0), und es existiert keine endliche unendliche Summe — die Partialsumme Sₙ wächst für d ≠ 0 mit wachsendem n über alle Grenzen.
Was ist eine arithmetische Folge?
Eine arithmetische Folge (auch arithmetische Progression) ist eine geordnete Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen jedem Glied und seinem Vorgänger stets dieselbe Konstante ist, die sogenannte Differenz d. So bilden etwa 3, 7, 11, 15, 19 eine arithmetische Folge mit erstem Glied 3 und Differenz 4, da jedes Glied um 4 größer ist als das vorhergehende.
Die Differenz kann positiv sein (steigende Folge), negativ (fallende Folge) oder null (konstante Folge, in der jedes Glied dem ersten entspricht). Arithmetische Folgen modellieren jeden Vorgang, der sich in jedem Schritt um denselben festen Betrag ändert, etwa einen Sparplan mit gleich hohen Einzahlungen, Sitzreihen mit jeweils gleich vielen zusätzlichen Plätzen oder einen Countdown, der um ein festes Intervall herunterzählt.
Zu einer arithmetischen Folge werden üblicherweise zwei zusammenhängende Größen gesucht: der Wert eines bestimmten Glieds (das n-te Glied) und die Summe einer Reihe aufeinanderfolgender Glieder (eine Partialsumme, auch arithmetische Reihe genannt). Dieser Rechner ermittelt beide aus denselben drei Eingaben.
So verwenden Sie diesen Rechner für arithmetische Folgen
- Geben Sie das erste Glied der Folge (a₁) ein — den Startwert.
- Geben Sie die Differenz (d) ein — den festen Betrag, der zu jedem Glied addiert wird, um das nächste zu erhalten. Verwenden Sie eine negative Zahl für eine fallende Folge.
- Geben Sie die Anzahl der Glieder (n) ein, für die Sie das n-te Glied und die Summe bestimmen möchten.
- Lesen Sie das n-te Glied, die Summe der ersten n Glieder sowie eine Vorschau mit bis zu den ersten 8 Gliedern der Folge ab.
Die Formeln der arithmetischen Folge
Das n-te Glied einer arithmetischen Folge erhält man, indem man vom ersten Glied ausgeht und die Differenz (n − 1)-mal addiert, da das erste Glied selbst keine Addition erfordert: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Rechenbeispiel mit a₁ = 3, d = 4 und n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Die Summe der ersten n Glieder nutzt aus, dass die Paare aus erstem und letztem Glied, aus zweitem und vorletztem Glied und so fort stets dieselbe Paarsumme (a₁ + aₙ) ergeben. Daraus folgt die geschlossene Form Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), gleichbedeutend mit Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Rechenbeispiel: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Diese Summenformel wird in der mathematischen Überlieferung dem jungen Carl Friedrich Gauß zugeschrieben, der die ganzen Zahlen von 1 bis 100 addiert haben soll, indem er 1+100, 2+99 und so weiter paarte, was 50 Paare mit jeweils der Summe 101 und damit insgesamt 5050 ergibt — dieselbe Paarungslogik liegt der hier verwendeten allgemeinen Formel zugrunde.
Häufige Fehler
- In der Formel für das n-te Glied n statt (n − 1) verwenden — das erste Glied (n = 1) erfordert keine, nicht eine Addition von d, da aₙ = a₁ + (n − 1)d gilt.
- Die Differenz mit einem Quotienten verwechseln — arithmetische Folgen addieren in jedem Schritt einen festen Betrag, während geometrische Folgen mit einem festen Faktor multiplizieren.
- Annehmen, die Summenformel setze das Auflisten aller Glieder voraus — die geschlossene Form Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) berechnet die Summe unmittelbar, ohne dass jedes Glied einzeln addiert werden muss.
- Eine nicht ganzzahlige Gliederanzahl eingeben — n muss eine positive ganze Zahl sein, die eine Position bezeichnet (1., 2., 3., …), und keine gebrochene Anzahl.
Häufig gestellte Fragen
Wie bestimmt man das n-te Glied einer arithmetischen Folge?
Verwenden Sie die Formel aₙ = a₁ + (n − 1)d, wobei a₁ das erste Glied, d die Differenz und n die gesuchte Gliednummer ist. Für a₁ = 3, d = 4 und n = 10 gilt: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Wie berechnet man die Summe einer arithmetischen Folge?
Verwenden Sie die Formel Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), die die ersten n Glieder summiert, ohne dass jedes einzeln addiert werden muss. Für a₁ = 3, d = 4 und n = 10 gilt: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Worin unterscheiden sich arithmetische und geometrische Folgen?
Eine arithmetische Folge weist eine konstante Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern auf (jedes Glied = vorheriges Glied + d). Eine geometrische Folge weist hingegen ein konstantes Verhältnis auf (jedes Glied = vorheriges Glied × r). Arithmetische Folgen wachsen linear, geometrische Folgen wachsen oder schrumpfen exponentiell, sofern der Betrag des Quotienten nicht 1 ist.
Darf die Differenz negativ oder null sein?
Ja. Eine negative Differenz erzeugt eine fallende Folge (etwa 10, 7, 4, 1, −2 mit d = −3). Eine Differenz von null erzeugt eine konstante Folge, in der jedes Glied dem ersten entspricht. Beides sind gültige arithmetische Folgen.
Wie bestimmt man die Differenz aus zwei Gliedern?
Subtrahieren Sie ein beliebiges Glied von dem unmittelbar folgenden: d = aₙ₊₁ − aₙ. Kennen Sie nur zwei nicht benachbarte Glieder aₘ und aₙ, so verwenden Sie d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Quellenangaben
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.