So verstehen Sie die Lösung Ihres Systems
Ein lineares System fällt in genau eine von drei Kategorien, die davon abhängt, wie die Geraden (oder Ebenen) der Gleichungen geometrisch zueinander liegen.
| Fall | Geometrische Bedeutung (2×2) | Anzahl der Lösungen |
|---|---|---|
| Unabhängig, widerspruchsfrei | Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt | Genau eine eindeutige Lösung |
| Abhängig | Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade | Unendlich viele Lösungen |
| Widersprüchlich | Die beiden Geraden verlaufen parallel und schneiden sich nie | Keine Lösung |
- Dieser Rechner meldet sowohl den abhängigen als auch den widersprüchlichen Fall als »keine eindeutige Lösung«, da die Gauß-Elimination allein sie ohne weitere Zeilenreduktion der erweiterten Matrix nicht unterscheiden kann; beide sind gleichermaßen gültige Ergebnisse, wenn die Koeffizientenmatrix singulär ist.
- Die numerischen Ergebnisse werden auf 6 Dezimalstellen gerundet. Bei Systemen mit exakt ganzzahligen oder einfach gebrochenen Koeffizienten spiegeln kleine Nachkommareste in der Ausgabe (z. B. 1,999999 statt 2) die übliche Gleitkommarundung wider und dürfen als der nahegelegene exakte Wert gelesen werden.
- Die Spaltenpivotisierung verringert den numerischen Fehler, doch Systeme, die nahezu singulär sind (Determinante sehr nahe bei null), können weiterhin Ergebnisse liefern, die empfindlich auf kleine Änderungen der Eingaben reagieren — eine Eigenschaft, die in der numerischen linearen Algebra als schlechte Kondition bezeichnet wird.
Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Zusammenstellung von zwei oder mehr linearen Gleichungen, die denselben Satz von Variablen teilen. Eine Lösung des Systems besteht aus Werten — einem je Variable —, die jede Gleichung des Systems gleichzeitig erfüllen. Geometrisch beschreibt eine lineare Gleichung mit zwei Variablen eine Gerade, und ein 2×2-System zu lösen bedeutet, den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. Eine lineare Gleichung mit drei Variablen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum, und ein 3×3-System sucht den Punkt, in dem sich drei Ebenen treffen.
Dieser Rechner stellt jede Gleichung als Zeile einer erweiterten Matrix dar: die Koeffizienten der Variablen, gefolgt von der Konstanten auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens. Für ein 2×2-System werden sechs Zahlen zeilenweise eingegeben — a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ — für die Gleichungen a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂. Ein 3×3-System folgt demselben Muster mit zwölf Zahlen in drei Zeilen zu je vier Koeffizienten.
Der Löser verwendet die Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung, ein Standardverfahren der numerischen linearen Algebra, das Variablen Zeile für Zeile systematisch eliminiert und die erweiterte Matrix auf eine Form bringt, aus der sich jede Unbekannte direkt ablesen lässt. Die Spaltenpivotisierung — also die Wahl der Zeile mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in jeder Spalte vor dem Eliminieren — verbessert die numerische Stabilität gegenüber der naiven Elimination.
So verwenden Sie diesen Gleichungssystem-Rechner
- Wählen Sie die Anzahl der Unbekannten: 2 für ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen (x, y) oder 3 für ein System aus drei Gleichungen mit drei Variablen (x, y, z).
- Geben Sie die Koeffizienten als durch ; getrennte Liste zeilenweise ein. Für ein 2×2-System sind das a₁; b₁; c₁; a₂; b₂; c₂ für die Gleichungen a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ — insgesamt sechs Zahlen.
- Für ein 3×3-System geben Sie zwölf Zahlen ein: a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃ für a₁x + b₁y + c₁z = d₁ und die beiden folgenden Gleichungen.
- Lesen Sie die berechneten Werte von x, y (und z bei einem 3×3-System) ab. Ist das System singulär — die Gleichungen sind also abhängig oder widersprüchlich —, meldet der Rechner »keine eindeutige Lösung« statt Zahlenwerten.
Die Formel hinter der Gauß-Elimination
Die Gauß-Elimination überführt die erweiterte Matrix [A | b] in eine äquivalente, leichter lösbare Form, indem sie Zeilenoperationen anwendet, welche die Lösungsmenge nicht verändern: Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer von null verschiedenen Konstanten multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Dieser Rechner eliminiert bis zur reduzierten Form und liest die Lösung direkt aus der entstehenden Diagonalmatrix ab; die Spaltenpivotisierung (Wahl des betragsgrößten Pivots je Spalte) verringert dabei Rundungsfehler.
Rechenbeispiel (2×2): Lösen Sie 2x + y = 5 und x − y = 1. Addiert man beide Gleichungen, fällt y heraus: 3x = 6, also x = 2. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt 2 − y = 1, also y = 1. Probe: 2(2) + 1 = 5 ✓ und 2 − 1 = 1 ✓.
Ein System ist singulär — besitzt also keine eindeutige Lösung —, wenn seine Koeffizientenmatrix die Determinante null hat, gleichbedeutend damit, dass die Gauß-Elimination eine Pivotspalte mit ausschließlich (numerisch) verschwindenden Einträgen erzeugt. Ein singuläres System ist entweder widersprüchlich (die Gleichungen widersprechen einander, z. B. x + y = 2 und x + y = 5, was keine Lösung ergibt) oder abhängig (eine Gleichung ist ein Vielfaches einer anderen, z. B. x + y = 2 und 2x + 2y = 4, was unendlich viele Lösungen ergibt). Welcher der beiden Fälle vorliegt, lässt sich nur durch direkte Betrachtung der Gleichungen entscheiden; dieser Rechner meldet beide Fälle als »keine eindeutige Lösung«.
Häufige Fehler
- Die Koeffizienten nicht zeilenweise eingeben — der Rechner erwartet je Gleichung deren Koeffizienten gefolgt von der Konstanten, Zeile für Zeile, nicht spaltenweise.
- Übersehen, dass ein 3×3-System zwölf Zahlen benötigt (vier je Zeile) und nicht neun — die Konstante auf der rechten Seite jeder Gleichung muss mit eingegeben werden.
- Annehmen, »keine eindeutige Lösung« bedeute stets, dass gar keine Lösung existiert — es kann ebenso bedeuten, dass unendlich viele Lösungen existieren (abhängiges System); die beiden Fälle lassen sich nur durch Prüfung der ursprünglichen Gleichungen von Hand unterscheiden.
- Verwechseln, auf welche Seite der Gleichung eine Konstante gehört — alle Variablenterme müssen auf die linke Seite gebracht und die Gleichung in der Form a₁x + b₁y (+ c₁z) = Konstante geschrieben werden, bevor die Koeffizienten eingegeben werden.
- Exakte Brüche in der Ausgabe erwarten — die Ergebnisse sind auf sechs Stellen gerundete Dezimalnäherungen, sodass eine exakte Lösung von 1/3 als 0,333333 erscheint.
Häufig gestellte Fragen
Wie löst man ein System aus zwei linearen Gleichungen?
Ein gängiges Verfahren ist das Additionsverfahren: Man addiert oder subtrahiert Vielfache der Gleichungen, um eine Variable zu eliminieren, löst nach der verbleibenden Variablen auf und setzt anschließend zurück ein. Bei 2x + y = 5 und x − y = 1 fällt durch Addition y heraus, es bleibt 3x = 6, also x = 2; Einsetzen liefert y = 1. Dieser Rechner automatisiert das entsprechende Verfahren — die Gauß-Elimination — für 2×2- und 3×3-Systeme.
Was bedeutet es, wenn ein System keine eindeutige Lösung hat?
Es bedeutet, dass sich die Gleichungen nicht in genau einem Punkt schneiden. Dafür gibt es zwei verschiedene Ursachen: Die Gleichungen können widersprüchlich sein (etwa x + y = 2 und x + y = 5), sodass es überhaupt keine Lösung gibt, oder abhängig (eine Gleichung ist ein Vielfaches einer anderen, etwa x + y = 2 und 2x + 2y = 4), sodass unendlich viele Lösungen existieren. Beide Fälle entsprechen einer Koeffizientenmatrix mit Determinante null.
Wie viele Gleichungen braucht man, um 3 Unbekannte zu bestimmen?
Grundsätzlich benötigt ein System mindestens so viele unabhängige Gleichungen wie Unbekannte, um eine eindeutige Lösung zu besitzen — also drei unabhängige Gleichungen für drei Unbekannte (x, y, z). Weniger unabhängige Gleichungen lassen mindestens einen Freiheitsgrad offen und führen zu unendlich vielen statt zu einer einzigen Lösung.
Was ist die Gauß-Elimination?
Die Gauß-Elimination ist ein systematisches Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme, das mithilfe von Zeilenoperationen — Zeilen vertauschen, eine Zeile skalieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren — die erweiterte Matrix in eine einfachere Dreiecks- oder Diagonalform überführt, aus der sich die Lösung direkt ablesen lässt. Sie ist das Standardverfahren der linearen Algebra und wird intern von den meisten numerischen Gleichungslösern verwendet, so auch von diesem Rechner.
Kann dieser Rechner nichtlineare Systeme lösen, etwa Gleichungen mit x²?
Nein. Dieser Rechner löst ausschließlich lineare Systeme, in denen jede Variable nur in der ersten Potenz und ohne Produkte zwischen Variablen auftritt (kein x², keine xy-Terme). Nichtlineare Systeme erfordern andere Verfahren, etwa das Einsetzungsverfahren in Verbindung mit der Mitternachtsformel oder numerische Nullstellenverfahren.
Warum zeigt der Rechner Dezimalzahlen statt exakter Brüche?
Der Löser führt die Gauß-Elimination in Gleitkommaarithmetik durch, wie es in der numerischen linearen Algebra üblich ist, und nicht in symbolischer Bruchrechnung. Eine exakte Lösung von 1/3 erscheint daher als 0,333333 (auf sechs Dezimalstellen gerundet). Bei Systemen mit glatten ganzzahligen Koeffizienten ergibt die Dezimalausgabe in der Regel eine exakte oder nahezu exakte ganze Zahl.
Quellenangaben
- Strang G. Linear Algebra and Its Applications. 4th ed. Cengage Learning, 2006. (Gaussian elimination and matrix rank.)
- Lay DC, Lay SR, McDonald JJ. Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson, 2015.
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. 9th ed. Cengage Learning, 2011. (Partial pivoting and numerical stability.)