صيغة درجة z: توحيد قياس القيمة
درجة z، التي تُسمى أيضًا الدرجة المعيارية، تحوّل قيمة خام إلى مقياس لمدى بُعد تلك القيمة عن متوسط توزيعها، معبَّرًا عنه بوحدات الانحراف المعياري بدلاً من الوحدات الأصلية. الصيغة هي z = (x - المتوسط) / الانحراف المعياري، حيث x هي القيمة المراد توحيد قياسها. درجة z تساوي صفرًا تعني أن القيمة تساوي المتوسط تمامًا؛ درجة z موجبة تعني أن القيمة أعلى من المتوسط؛ درجة z سالبة تعني أن القيمة أدنى من المتوسط.
توحيد القيم بهذه الطريقة يجعل من الممكن مقارنة قياسات آتية من مقاييس أو توزيعات مختلفة -- على سبيل المثال، مقارنة أداء طالب في اختبارين مختلفين لهما متوسطات وتشتتات مختلفة، أو مقارنة نتيجة مخبرية فردية بمجال مرجعي. ولأن درجة z تُزيل كلاً من الوحدات الأصلية والمقياس الأصلي، فإن درجة z تساوي +1 تعني دائمًا الشيء النسبي نفسه (انحراف معياري واحد فوق متوسط أي توزيع أتت منه)، بصرف النظر عمّا يُقاس.
ماذا يعني «انحرافان معياريان فوق المتوسط»؟
القول إن قيمة ما تقع على بُعد انحرافين معياريين فوق المتوسط هو ببساطة طريقة أخرى للقول إن درجة z الخاصة بها تساوي +2: القيمة أبعد عن المتوسط من الملاحظة النموذجية بمقدار يعادل ضعف الانحراف المعياري للتوزيع. ولأن الانحراف المعياري يقيس التشتت النموذجي للبيانات، فإن درجة z تساوي 2 أو أكثر (أو -2 أو أقل) تُعد عرفيًا غير معتادة، لأن قلة نسبيًا من الملاحظات في توزيع شبه طبيعي تقع بعيدًا عن المركز إلى هذا الحد.
هذه الصياغة وصفية بحتة لموضع القيمة داخل التوزيع -- فهي لا تخبر في حد ذاتها ما إذا كان الوقوع على بُعد انحرافين معياريين فوق المتوسط أمرًا جيدًا أم سيئًا أم محايدًا. درجة z تساوي +2 في توزيع درجات اختبار تدل عمومًا على نتيجة قوية، بينما درجة z تساوي +2 في توزيع ضغط الدم تدل عمومًا على قراءة أعلى بكثير من المعتاد وتستحق اهتمامًا سريريًا. درجة z تُبلّغ عن المسافة من المتوسط؛ أما تفسير معنى تلك المسافة فيعتمد دائمًا على ما يُقاس.
التوزيع الطبيعي المعياري والمئينات
عندما تكون البيانات الأساسية شبه طبيعية (على شكل جرس)، يمكن تحويل درجة z إلى مئين باستخدام دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري، التي تُعطي نسبة التوزيع الواقعة تحت درجة z معينة. هذا التحويل هو ما يسمح بإعادة صياغة درجة z على النحو: «هذه القيمة أعلى من نحو X% من التوزيع». يسرد الجدول أدناه المئينات المعيارية الراسخة للدرجات z الصحيحة من -2 إلى +3.
| درجة z | المئين (نسبة التوزيع الواقعة تحته) | النسبة الواقعة فوقه |
|---|---|---|
| -2 | 2.28% | 97.72% |
| -1 | 15.87% | 84.13% |
| 0 | 50.00% | 50.00% |
| +1 | 84.13% | 15.87% |
| +2 | 97.72% | 2.28% |
| +3 | 99.87% | 0.13% |
مثال محلول: تحويل درجة خام إلى مئين
خذ بعين الاعتبار قيمة x = 130 مأخوذة من توزيع متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15 (المقياس الكلاسيكي المستخدم لدرجات الذكاء). الخطوة 1: احسب درجة z، z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. الخطوة 2: ابحث عن z = 2 في التوزيع الطبيعي المعياري، والذي يقابل المئين 97.72، أي أن نحو 97.72% من التوزيع يقع عند قيمة 130 أو أدنى منها، ونحو 2.28% يقع فوقها.
مثال ثانٍ باستخدام المقياس نفسه: قيمة x = 85 تعطي z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1، والتي تقابل المئين 15.87 -- أي أن هذه القيمة تقع تحت نحو 84.13% من التوزيع وفوق نحو 15.87% منه. في كلتا الحالتين، يختصر الحساب بأكمله إلى خطوتين: توحيد القيمة إلى درجة z، ثم قراءة المئين المقابل من التوزيع الطبيعي المعياري.
قاعدة 68-95-99.7 التجريبية
بالنسبة للبيانات شبه الطبيعية، تُقدّم القاعدة التجريبية (التي تُسمى أحيانًا قاعدة 68-95-99.7) طريقة سريعة للحكم على مدى ندرة درجة z دون إجراء بحث كامل عن المئين: نحو 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط (z بين -1 و+1)، ونحو 95% تقع ضمن انحرافين معياريين (z بين -2 و+2)، ونحو 99.7% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية (z بين -3 و+3).
تنبع هذه القاعدة مباشرة من جدول المئينات أعلاه: النسبة بين z = -1 و z = +1 هي 84.13% - 15.87% = 68.26%، والنسبة بين z = -2 و z = +2 هي 97.72% - 2.28% = 95.44%، والنسبة بين z = -3 و z = +3 هي 99.87% - 0.13% = 99.74% -- وكلها متسقة مع التقريبات الشائعة 68% و95% و99.7%. تنطبق القاعدة فقط عندما يكون التوزيع الأساسي شبه طبيعي؛ إذ يمكن للبيانات المائلة أو ذات الذيول الثقيلة أن تنحرف بشكل كبير عن هذه النسب حتى لو أمكن حساب درجات z لها.
الأسئلة الشائعة
كيف تُحسب درجة z؟
اطرح المتوسط من القيمة، ثم اقسم على الانحراف المعياري: z = (x - المتوسط) / الانحراف المعياري. على سبيل المثال، قيمة 130 على مقياس متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15 تعطي z = (130 - 100) / 15 = 2، أي أن القيمة تقع على بُعد انحرافين معياريين فوق المتوسط.
ما المئين المقابل لدرجة z تساوي 2؟
نحو المئين 97.72. يضع التوزيع الطبيعي المعياري نحو 97.72% من القيم عند درجة z تساوي 2 أو أدنى منها، أي أن قيمة بهذه الدرجة أعلى من نحو 97.72% من التوزيع وأدنى من نحو 2.28% منه، بافتراض أن البيانات الأساسية شبه طبيعية.
ماذا يعني أن تكون على بُعد انحرافين معياريين فوق المتوسط؟
يعني أن للقيمة درجة z تساوي +2: فهي أبعد فوق المتوسط من الملاحظة النموذجية بمقدار يعادل ضعف الانحراف المعياري للتوزيع. بالنسبة للبيانات شبه الطبيعية، يقع نحو 97.72% من التوزيع عند هذه القيمة أو أدنى منها، مما يجعلها نتيجة غير معتادة نسبيًا -- رغم أن كون ذلك مرغوبًا أم لا يعتمد كليًا على ما يُقاس.
هل تتطلب درجات z أن تكون البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا؟
حساب درجة z نفسه، z = (x - المتوسط) / الانحراف المعياري، مُعرَّف لأي توزيع ولا يتطلب التوزيع الطبيعي. لكن تحويل درجة z إلى مئين باستخدام التوزيع الطبيعي المعياري -- كما في الأمثلة أعلاه -- لا يكون دقيقًا إلا عندما تكون البيانات الأساسية شبه طبيعية (على شكل جرس)؛ أما بالنسبة للبيانات المائلة أو ذات الذيول الثقيلة، فينبغي قراءة المئينات مباشرة من البيانات.
ما هي قاعدة 68-95-99.7؟
هي اختصار لمقدار ما يقع ضمن توزيع شبه طبيعي على بُعد انحراف معياري واحد أو اثنين أو ثلاثة من المتوسط: نحو 68% ضمن انحراف معياري واحد (z بين -1 و+1)، ونحو 95% ضمن انحرافين (z بين -2 و+2)، ونحو 99.7% ضمن ثلاثة (z بين -3 و+3). تُقدّم طريقة سريعة للحكم على مدى ندرة قيمة ما دون إجراء بحث كامل عن المئين.
المراجع
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).